[论文解读] A regularity result for the nonlocal Fokker-Planck equation with Ornstein-Uhlenbeck drift

Xiaoxia Xie, Jinqiao Duan+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2015

Gas Dynamics and Kinetic Theory参考文献 22被引用 8

一句话总结

本文建立了带奥恩斯坦-乌伦贝克漂移的分数阶福克-普朗克方程的首个全局光滑性结果，证明当 $ \alpha \in (0,2] $ 时，解在所有 $ t > 0 $ 下关于空间是 $ C^{\infty} $ 的。证明依赖于将解表示为与分数阶热核导出的基本解的卷积，利用已知的分数阶热核光滑性及尺度变换，将正则性传递至扰动方程。

ABSTRACT

Despite there are numerous theoretical studies of stochastic differential equations with a symmetric $α$-stable Lévy noise, very few regularity results exist in the case of $00$ when $α\in (0, 2]$.

研究动机与目标

• 为解决当 $ \alpha \in (0,1] $ 时分数阶福克-普朗克方程缺乏正则性结果的问题，特别是针对非高斯 Lévy 噪声的情形。
• 建立带奥恩斯坦-乌伦贝克漂移的分数阶福克-普朗克方程在空间上的光滑性，该情形下漂移为线性且噪声为对称 $ \alpha $-稳定分布。
• 证明尽管分数阶拉普拉斯具有非局部性且漂移项可能较强，解在所有 $ t > 0 $ 下仍保持 $ C^\infty $ 空间光滑性。

提出的方法

• 将解表示为初始数据与方程基本解（热核）的卷积：$ u(t,x) = (p * u_0)(x) $。
• 利用已知的 $ C^\infty $ 光滑性，即对所有 $ t > 0 $ 和 $ \alpha \in (0,2) $，分数阶热核 $ \widehat{p}(t,x,y) $ 具有光滑性。
• 应用依赖于时间的尺度变换：$ \tilde{t} = \frac{e^{\alpha t} - 1}{\alpha} $，$ \tilde{x} = e^t x $，将扰动核 $ p(t,x,y) $ 与分数阶热核 $ \widehat{p} $ 联系起来。
• 通过将积分拆分为近场与远场区域，并利用幂律衰减与 $ L^1 $-范数估计，建立核的所有空间导数的可积性。
• 利用杨不等式及积分号下连续性，证明解继承自核的光滑性。
• 利用傅里叶变换证明在 $ L^\infty $ 设置下解的唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 带奥恩斯坦-乌伦贝克漂移的分数阶福克-普朗克方程是否在所有 $ t > 0 $ 下存在空间光滑的解，即使 $ \alpha \in (0,1] $?
• RQ2 当 $ \alpha $ 较小时，漂移项可能主导非局部扩散，此时解的正则性是否仍能保持？
• RQ3 给定非局部算子，带奥恩斯坦-乌伦贝克漂移的方程的基本解在正时空中是否光滑？
• RQ4 尺度变换通过何种精确机制在扰动方程中保持光滑性？

主要发现

• 当初始数据 $ u_0 \in L^\infty({\mathbb{R}}^d) $ 几乎处处连续时，带奥恩斯坦-乌伦贝克漂移的分数阶福克-普朗克方程的解 $ u(t,x) $ 在所有 $ t > 0 $ 下关于空间是 $ C^\infty $ 的。
• 解可表示为卷积形式：$ u(t,x) = \int_{{\mathbb{R}}^d} p(t,x-y) u_0(y) dy $，其中 $ p $ 为方程的基本解。
• 基本解满足关系式 $ p(t,x,y) = e^{dt} \widehat{p}\left(\frac{e^{\alpha t} - 1}{\alpha}, e^t x, y\right) $，将其与分数阶热核联系起来。
• 核 $ p(t,x,y) $ 的所有空间导数在 $ \mathbb{R}^d $ 上可积，通过卷积与控制收敛定理确保了解的光滑性。
• 在 $ u_0 $ 的连续点处，解满足 $ \lim_{t \to 0^+, x \to x^0} u(t,x) = u_0(x^0) $，确认了初始条件的正确性。
• 通过傅里叶变换在 $ L^\infty $ 设置下建立了唯一性，确认了解是良定义且具有物理意义的。