[论文解读] A relationship between trees and Kelly-Mac Lane graphs

Eugenia Cheng|ArXiv.org|Apr 21, 2003

Geometric and Algebraic Topology参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文建立了用于opetopic n-范畴中的梳状树与特定形状的允许Kelly-Mac Lane图之间的精确范畴等价。它证明了每个梳状树唯一对应于形如 $X_{m_1} \bigotimes \bigotimes X_{m_k} \to X_{(\sum m_i - k + 1)}$ 的允许图，反之亦然，每个此类允许图也唯一定义了一个梳状树，从而在对称闭张量范畴中为这些组合结构提供了新的代数表征。

ABSTRACT

We give a precise description of combed trees in terms of Kelly-Mac Lane graphs. We show that any combed tree is uniquely expressed as an allowable Kelly-Mac Lane graph of a certain shape. Conversely, we show that any such Kelly-Mac Lane graph uniquely defines a combed tree.

研究动机与目标

• 建立用于opetopic n-范畴中的梳状树与Kelly-Mac Lane框架中图之间的精确范畴对应关系。
• 证明梳状树与特定形状的允许Kelly-Mac Lane图之间存在双射对应。
• 通过一个对象的自由对称闭张量范畴中态射结构，为树提供一种新的代数表征。
• 证明任意树的图都是允许的，并且所有满足特定形状的允许图均可唯一地源自某棵树。

提出的方法

• 在Kelly-Mac Lane图的语境下，使用对 1, I, ⊗, 和 [ , ] 的归纳规则来定义形状与变量变体。
• 通过在定义域与值域的变体列表中，对具有相反变体的变量进行无固定点的配对来构建图。
• 利用Kelly和Mac Lane（1991）的定理1.1，将允许态射表征为在复合下封闭且满足一致性条件的态射。
• 通过非形式化与形式化的归纳构造定义梳状树，然后通过将树的结构编码为变量配对，将其映射到图。
• 通过证明其满足必要的兼容性与无环性条件，证明任意树的图都是允许的。
• 通过构造一个满足特定形状的允许态射，并证明其必须通过逆映射唯一地源自一棵树，来证明其逆命题。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在Kelly-Mac Lane框架中精确表征出现在opetopic n-范畴中的梳状树？
• RQ2 梳状树与特定形状的允许Kelly-Mac Lane图之间是否存在一一对应关系？
• RQ3 所有形如 $X_{m_1} \otimes \cdots \otimes X_{m_k} \to X_{(\sum m_i - k + 1)}$ 的允许Kelly-Mac Lane图是否都唯一对应于一棵梳状树？
• RQ4 何种结构条件可确保Kelly-Mac Lane图是允许的并对应于一棵树？
• RQ5 一个对象的自由对称闭张量范畴的闭范畴结构如何与树的构造相关联？

主要发现

• 每个梳状树唯一对应于形状为 $X_{m_1} \otimes \cdots \otimes X_{m_k} \to X_{(\sum m_i - k + 1)}$ 的允许Kelly-Mac Lane图，其中 $X_m = [1^{\otimes m}, 1]$。
• 反之，每个此类特定形状的允许Kelly-Mac Lane图唯一定义了一棵梳状树。
• 通过Kelly和Mac Lane（1991）定理1.1中的兼容性条件，证明了任意树的图都是允许的。
• 若存在一组指标 $\{t_1, \dots, t_n\}$，使得对每个 $j$，$A_{t_j}$ 与 $A_{t_j b_j}$ 配对，则该形状的态射不是允许的，因为这将导致一个闭合环路。
• 通过张量积与对偶映射构造允许态射 $\theta_p$，是证明逆方向非允许性的关键工具。
• 该对应关系表明，此类树的范畴与一个对象的自由对称闭张量范畴中指定形状的允许态射的全子范畴等价。