[论文解读] A relative higher index theorem, diffeomorphisms and positive scalar curvature

Zhizhang Xie, Guoliang Yu|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2012

Advanced Operator Algebra Research参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文建立了完备自旋流形在无穷远处具有正数量曲率时的相对高阶指标定理，引入了一个二级高阶指标类，该类阻碍了闭流形及其伽罗瓦覆叠上的两个正数量曲率度量在该类度量的空间中属于同一连通分支。当其中一个度量由流形的微分同胚诱导时，本文给出了该指标类的可计算公式，并证明其位于 Baum-Connes 汇集映射的像中。

ABSTRACT

We prove a general relative higher index theorem for complete manifolds with positive scalar curvature towards infinity. We apply this theorem to study Riemannian metrics of positive scalar curvature on manifolds. For every two metrics of positive scalar curvature on a closed manifold and a Galois cover of the manifold, we define a secondary higher index class. Non-vanishing of this higher index class is an obstruction for the two metrics to be in the same connected component of the space of metrics of positive scalar curvature. In the special case where one metric is induced from the other by a diffeomorphism of the manifold, we obtain a formula for computing this higher index class. In particular, it follows that the higher index class lies in the image of the Baum-Connes assembly map.

研究动机与目标

• 为在无穷远处具有正数量曲率的完备流形建立相对高阶指标定理。
• 定义一个二级高阶指标类，该类阻碍闭流形及其伽罗瓦覆叠上的两个正数量曲率度量在该类度量空间的同一连通分支中。
• 在其中一个度量由流形的微分同胚诱导的情况下，推导出该指标类的可计算公式。
• 证明所得的高阶指标类位于 Baum-Connes 汇集映射的像中，从而将其与非交换几何中的深层猜想联系起来。

提出的方法

• 利用伽罗瓦覆叠上的狄拉克算子，在完备自旋流形（在紧集外部具有正数量曲率）上构造相对高阶指标定理。
• 通过在超曲面上胶合两个流形来定义相对指标类，从而生成一个新的流形，其狄拉克算子的高阶指标类等于原始指标类之差。
• 通过在流形端部的自旋丛之间提升等距同构与丛同构，确保胶合过程中的相容性。
• 应用椭圆伪微分算子理论与索伯列夫范数，控制指标计算中截面的正则性与有界性。
• 利用 Baum-Connes 汇集映射证明二级指标类位于其像中，特别是在微分同胚诱导的情形下。
• 将结果从复 $C^*$-代数推广至实 $C^*$-代数设置，尽管证明以复数情形为主，同时指明实数情形的调整方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 闭流形及其伽罗瓦覆叠上的两个正数量曲率度量在该类度量空间中无法连通的障碍是什么？
• RQ2 如何为在无穷远处具有正数量曲率的完备流形建立相对高阶指标定理？
• RQ3 当其中一个度量由流形的微分同胚诱导时，二级高阶指标类能否显式计算？
• RQ4 在微分同胚诱导的情形下，二级高阶指标类是否位于 Baum-Connes 汇集映射的像中？
• RQ5 狄拉克算子及其高阶指标在涉及超曲面与伽罗瓦覆叠的胶合构造下的几何与分析性质如何表现？

主要发现

• 相对高阶指标定理表明，胶合流形 $X_2$ 的高阶指标类等于原始流形高阶指标类之差：$\textup{Ind}(D_2) = \textup{Ind}(D_0) - \textup{Ind}(D_1)$。
• 与闭流形及其伽罗瓦覆叠上两个正数量曲率度量相关的二级高阶指标类，是其在该类度量空间中连通性的拓扑障碍。
• 当一个度量由另一个度量经流形的微分同胚诱导时，二级指标类可计算，且位于 Baum-Connes 汇集映射的像中。
• 该定理适用于实与复 $C^*$-代数，其中复数情形详尽处理，实数情形的修改方法亦已指明。
• 证明依赖于椭圆伪微分算子理论、索伯列夫范数以及 $\mathcal{A}$-丛上的限制映射，关键估计通过参数构造建立。
• 索伯列夫空间上的限制映射满足不等式 $\langle\langle R\sigma,R\sigma\rangle\rangle_{s-k/2} \leq C\langle\langle\sigma,\sigma\rangle\rangle_s$（当 $s > k/2$ 时），这对于指标计算中的正则性控制至关重要。