[论文解读] A relative Riemann-Hurwitz theorem, the Hurwitz-Hodge bundle, and orbifold Gromov-Witten theory

Tyler J. Jarvis, Takashi Kimura|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用 1

一句话总结

本文为可接受的 G-覆叠建立了以表示环为值的相对黎曼-赫尔维茨公式，以基曲线的霍奇丛描述了赫尔维茨-霍奇丛的 G-模结构。该研究提供了零度轨道 Gromov-Witten 不变量的虚拟类的显式、无需 G-覆叠的描述，并推导出一个新的微分方程以计算后代赫尔维茨-霍奇积分，验证了对 [C³/Z₃] 在亏格零和一的镜像对称预测。

ABSTRACT

Abstract. We provide a formula describing the G-module structure of the Hurwitz-Hodge bundle for admissible G-covers in terms of the Hodge bundle of the base curve, and more generally, for describing the G-module structure of the push-forward to the base of any sheaf on a family of admissible G-covers. This formula can be interpreted as a representation-ring-valued relative Riemann-Hurwitz formula for families of admissible G-covers. This formula yields an explicit description, without reference to G-covers, of the virtual class for orbifold Gromov-Witten invariants of a global quotient in degree zero. It also yields a new differential equation which computes arbitrary descendant Hurwitz-Hodge integrals. For G = Z2 and genus zero, we obtain Hurwitz-Hodge integrals due to Faber-Pandharipande. We also calculate some Hurwitz-Hodge integrals for G = Z3. In particular, we calculate some Gromov-Witten invariants of [C 3 /Z3] and show agreement with the predictions from mirror symmetry due to Aganagic-Bouchard-Klemm in genus zero and one. Contents

研究动机与目标

• 推导出可接受 G-覆叠上赫尔维茨-霍奇丛的 G-模结构公式，以基曲线的霍奇丛表示。
• 将此公式推广至可接受 G-覆叠族上任意层的上推。
• 为全局商空间在零度下的轨道 Gromov-Witten 不变量提供一个不依赖于显式 G-覆叠构造的虚拟类描述。
• 建立一个用于计算任意后代赫尔维茨-霍奇积分的微分方程。
• 通过计算特定的 Gromov-Witten 不变量，验证 G = Z₃ 在亏格零和一的镜像对称预测。

提出的方法

• 使用群表示理论和可接受 G-覆叠上的层上推，推导出以表示环为值的相对黎曼-赫尔维茨公式。
• 将赫尔维茨-霍奇丛的 G-模结构表示为 G 的不可约表示与基曲线霍奇丛的组合。
• 将该公式应用于计算零度下轨道稳定映射模空间的虚拟类，针对全局商空间。
• 引入一个新的微分方程，控制后代赫尔维茨-霍奇积分生成函数。
• 将框架特化至 G = Z₂ 和 G = Z₃，以计算显式积分，并与已知结果和镜像对称预测相匹配。
• 利用该公式计算 [C³/Z₃] 在亏格零和一的 Gromov-Witten 不变量，确认 Aganagic-Bouchard-Klemm 的预测。

实验结果

研究问题

• RQ1 可接受 G-覆叠上赫尔维茨-霍奇丛的 G-模结构如何以基曲线的霍奇丛描述？
• RQ2 零度下轨道稳定映射模空间的虚拟类如何表达，且不依赖于 G-覆叠？
• RQ3 能否推导出一个微分方程以计算任意后代赫尔维茨-霍奇积分？
• RQ4 对 G = Z₃ 计算的赫尔维茨-霍奇积分是否与 [C³/Z₃] 在亏格零和一的镜像对称预测一致？
• RQ5 使用新公式可计算 [C³/Z₃] 的哪些显式 Gromov-Witten 不变量，其结果与现有预测相比如何？

主要发现

• 本文提供了以表示环为值的相对黎曼-赫尔维茨公式，描述了可接受 G-覆叠上赫尔维茨-霍奇丛的 G-模结构。
• 零度下全局商空间轨道 Gromov-Witten 不变量的虚拟类被显式描述，且不依赖于 G-覆叠数据。
• 推导出一个新的微分方程，控制任意后代赫尔维茨-霍奇积分的计算。
• 当 G = Z₂ 且亏格为零时，该公式恢复了 Faber-Pandharipande 之前计算的赫尔维茨-霍奇积分。
• 当 G = Z₃ 时，本文计算了特定的赫尔维茨-霍奇积分和 [C³/Z₃] 的 Gromov-Witten 不变量，确认了在亏格零和一与镜像对称预测的一致性。
• 该方法使 [C³/Z₃] 在低亏格下的 Gromov-Witten 不变量得以显式计算，验证了 Aganagic-Bouchard-Klemm 提出的理论预测。