[论文解读] A relative version of the Turaev-Viro invariants and the volume of hyperbolic polyhedral 3-manifolds

Tian Yang|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2020

Geometric and Algebraic Topology参考文献 30被引用 4

一句话总结

本文为具有非空边界的理想三角剖分3-流形引入了Turaev-Viro不变量的相对版本，通过边着色来编码双曲多面度量中的角锥角。在角锥角足够小时，证明了该不变量的体积猜想，表明其对数渐近行为可恢复对应度量下流形的双曲体积。

ABSTRACT

We define a relative version of the Turaev-Viro invariants for an ideally triangulated compact 3-manifold with non-empty boundary and a coloring on the edges, generalizing the Turaev-Viro invariants [35] of the manifold. We also propose the Volume Conjecture for these invariants whose asymptotic behavior is related to the volume of the manifold in the hyperbolic polyhedral metric [22, 23] with singular locus the edges and cone angles determined by the coloring, and prove the conjecture in the case that the cone angles are sufficiently small. This suggests an approach of solving the Volume Conjecture for the Turaev-Viro invariants proposed by Chen-Yang [8] for hyperbolic 3-manifolds with totally geodesic boundary.

研究动机与目标

• 为具有非空边界的理想三角剖分3-流形及边着色，定义Turaev-Viro不变量的相对版本。
• 将Turaev-Viro不变量的体积猜想推广至包含沿边具有奇点的双曲多面度量的情形，其中角锥角由着色确定。
• 在角锥角足够小的范围内建立渐近体积猜想，此时双曲多面度量可唯一实现。
• 通过具有指定角锥角的多面度量的双曲体积，将量子不变量与几何结构联系起来。

提出的方法

• 使用量子6j-符号和依赖于边的H-函数定义相对Turaev-Viro不变量，边着色满足r-可接受条件。
• 将不变量构造为在r-可接受着色上的求和，结合不同归一化制度下的量子参数q = e^{2πi/r}和q = e^{πi/r}。
• 建立相对Turaev-Viro不变量与流形双的相对Reshetikhin-Turaev不变量之间的对偶性。
• 利用驻定相位法和复分析技术，估计大r极限下量子不变量的渐近行为。
• 对关联的量子划分函数应用最陡下降法，识别出对应于双曲多面度量的临界点所贡献的主导项。
• 证明当角锥角较小时，不变量的对数增长率收敛于多面度量下流形的双曲体积。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有边界的3-流形及边着色定义Turaev-Viro不变量的相对版本，从而推广标准不变量？
• RQ2 当角锥角由着色确定时，相对Turaev-Viro不变量的渐近行为是否能恢复流形的双曲体积？
• RQ3 Turaev-Viro不变量的体积猜想在双曲多面度量且角锥角较小时是否成立？
• RQ4 相对Turaev-Viro不变量与3-流形的双及其双曲结构之间有何几何关系？
• RQ5 驻定相位法是否可应用于小角锥角范围，以证明渐近体积猜想？

主要发现

• 相对Turaev-Viro不变量被定义于具有非空边界的理想三角剖分3-流形及边着色，推广了标准Turaev-Viro不变量。
• 该不变量与流形双的相对Reshetikhin-Turaev不变量之间存在对偶性，显式归一化因子依赖于r和流形M的拓扑。
• 当角锥角足够小时，体积猜想成立：lim_{r→∞} (2π/r) log TV_r(M,E,b^{(r)}) = Vol(M_{E_θ})，其中θ由着色确定。
• 证明依赖于复分析和最陡下降法，表明不变量的主导贡献来自对应于双曲多面度量的临界点。
• 渐近展开中的误差项被有界为O(e^{r/(2π)(Vol - ε')}），确认在大r极限下收敛于体积。
• 通过作用泛函的Hessian的非退化性条件，确立了渐近展开中首项系数的非零性。