[论文解读] A Relaxation Theorem for Differential Inclusions with Applications to Stability Properties

Brian Ingalls, Eduardo D. Sontag+1 more|ArXiv.org|Jun 24, 2002

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 6被引用 5

一句话总结

本文在可分巴拿赫空间中建立了微分包含的无限时间松弛定理，证明了在初始条件仅需与松弛轨迹的初始状态接近（而非完全相同）的前提下，原微分包含的轨迹可被松弛包含（动态凸化）的轨迹在无限区间上逼近。关键贡献在于将有限维空间中的结果推广至无限维状态空间，从而为受扰控制系统的输出稳定性分析提供了新工具。

ABSTRACT

The fundamental Filippov-Wazwski Relaxation Theorem states that the solution set of an initial value problem for a locally Lipschitz inclusion is dense in the solution set of the same initial value problem for the corresponding relaxation inclusion on compact intervals. In our recent work, a complementary result was provided for inclusions with finite dimensional state spaces which says that the approximation can be carried out over non-compact or infinite intervals provided one does not insist on the same initial values. This note extends the infinite-time relaxation theorem to the inclusions whose state spaces are Banach spaces. To illustrate the motivations for studying such approximation results, we briefly discuss a quick application of the result to output stability and uniform output stability properties.

研究动机与目标

• 将无限时间松弛定理从有限维空间推广至具有可分巴拿赫空间状态空间的微分包含。
• 解决经典Filippov–Ważewski定理的局限性，后者仅在紧区间上保证初始条件完全相同的逼近。
• 通过提供无限时域上的逼近工具，实现控制理论中新稳定性分析，特别是输出稳定性和一致输出稳定性。
• 通过反例证明：即使误差界为常数，相同初始条件的逼近在无限时间内仍不可能实现。

提出的方法

• 通过加权范数和基于管状结构的构造，将C0 Whitney拓扑逼近框架扩展至无限维巴拿赫空间。
• 通过求解一系列初始条件扰动并收敛至松弛轨迹初始状态的局部初值问题，构造近似轨迹。
• 利用Hausdorff距离和集值映射F的局部Lipschitz连续性，控制时间推移中的逼近误差。
• 通过闭凸包技术实现松弛：ẋ(t) ∈ clco F(t, x(t))，以定义松弛微分包含。
• 在连续区间上递归构造轨迹，确保逼近误差始终保持在参考松弛轨迹周围不断缩小的管状区域内。
• 利用巴拿赫空间的前向完备性和拓扑性质，保证逼近解的存在性与收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 先前在有限维系统中建立的无限时间松弛定理，能否推广至可分巴拿赫空间状态空间的系统？
• RQ2 在衰减或常数误差函数下，是否能通过与松弛轨迹初始条件相同的原包含轨迹，在[0, ∞)上逼近松弛轨迹？
• RQ3 当初始条件必须完全匹配时，此类无限时间逼近存在何种限制？
• RQ4 此类逼近结果如何应用于受扰控制系统的输出稳定性分析？
• RQ5 即使误差界为常数，无限时间下相同初始条件逼近的失败是否依然存在？

主要发现

• 本文证明：对于任意定义在[0, ∞)上的松弛轨迹，存在一列原包含的逼近轨迹，使得逼近误差被给定的正函数r(t)所控制，且逼近轨迹的初始条件可被任意选择为接近松弛轨迹的初始状态。
• 该结果并非经典Filippov–Ważewski定理的推广，因其不保持初始条件；相反，它允许初始条件的扰动。
• 通过构造反例表明：即使误差界为常数r(t) ≡ ε > 0，若要求状态轨迹有界，则原包含的任何解均无法在[0, ∞)上逼近具有相同初始条件的松弛轨迹。
• 本文证明该逼近结果可直接推广稳定性结论：oGAS（输出全局渐近稳定）蕴含前向完备系统下的oUGAS（一致输出全局渐近稳定）。
• 稳定性等价性的证明依赖于无限时间逼近结果，表明松弛轨迹可在加权范数下被正则轨迹一致逼近，从而保持稳定性性质。