[论文解读] A Remark On C^{2,\alpha}-Regularity of the Complex Monge-Ampère Equation

Yu Wang|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2011

Geometry and complex manifolds参考文献 2被引用 5

一句话总结

该论文在假设 $ f^{1/n} \in C^\alpha $、$ f \geq \lambda > 0 $ 且 $ \Delta u \leq \Lambda $ 的条件下，建立了复 Monge-Ampère 方程 $ \det(u_{\bar{k}j}) = f $ 的 $ C^{2,\alpha} $-正则性。其关键创新在于构造了实对称矩阵上行列式的拟凹、一致椭圆扩展 $ \tilde{F} $，从而将复 Monge-Ampère 方程转化为一致椭圆型 PDE，进而证明在更小的球内解具有 $ C^{2,\beta} $ 正则性，其中 $ \beta < \alpha $。

ABSTRACT

We prove the $C^{2,\alpha}$-regularity of the solution $u$ of the equation [\det(u_{\bar{k} j}) = f, \quad f^{1/n} \in C^{\alpha}, \quad f \geq \lambda] under the assumption in upper bound of $\Delta u$. Our result settles down the regularity problem related to the paper \cite{Tian} (also see \cite{Zhang}).

研究动机与目标

• 在弱于以往结果的假设下，解决复 Monge-Ampère 方程的正则性问题。
• 在仅假设 $ f^{1/n} \in C^\alpha $ 且 $ \Delta u \leq \Lambda $ 的条件下，建立 $ C^{2,\alpha} $-正则性，而非对 $ D^2u $ 假设 $ L^\infty $ 有界。
• 构造实对称矩阵上行列式的统一椭圆、拟凹扩展 $ \tilde{F} $，使其在相关集合上与原行列式一致。
• 证明解 $ u $ 满足一致椭圆型 PDE $ \tilde{F}(D^2u) = f^{1/n} $，从而可应用标准正则性理论。

提出的方法

• 定义 $ \tilde{F}(M) $ 为实行列式 $ F(M) = \det_R^{1/2n}[p(M)] $ 在具有受控特征值的矩阵集合 $ E_\theta $ 上的拟凹包络。
• 通过在矩阵 $ N \in E_\theta $ 上进行下确界卷积构造 $ \tilde{F} $，以保证其拟凹性与一致椭圆性。
• 利用典范复结构 $ J $ 和投影 $ p: \text{Sym}(2n) \to \text{Herm}(n) $，建立实行列式与复行列式之间的联系。
• 证明 $ \tilde{F} $ 是一致椭圆的，其椭圆常数 $ \tilde{\theta} $ 仅依赖于 $ \lambda, \Lambda, n $。
• 证明对所有 $ x \in B_1 $，有 $ D^2u(x) \in E_\theta $，因此在 $ B_{1/2} $ 内有 $ \tilde{F}(D^2u) = f^{1/n} $ 成立。
• 应用标准非线性椭圆型理论，得出 $ u \in C^{2,\beta}(B_{1/2}) $，其中 $ \beta < \alpha $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在仅假设 $ f^{1/n} \in C^\alpha $ 且 $ \Delta u \leq \Lambda $ 的条件下，能否建立复 Monge-Ampère 方程的 $ C^{2,\alpha} $-正则性，而无需假设 $ D^2u \in L^\infty $？
• RQ2 是否可能通过行列式的拟凹扩展，将复 Monge-Ampère 方程约化为一致椭圆型 PDE？
• RQ3 如何构造一个在对称矩阵上保持原值的最优一致椭圆、拟凹扩展行列式？
• RQ4 扩展泛函 $ \tilde{F} $ 的一致椭圆性如何依赖于 $ f^{1/n} $ 和 $ \Delta u $ 的下界与上界？

主要发现

• 在给定假设下，方程 $ \det(u_{\bar{k}j}) = f $ 的解 $ u $ 满足 $ u \in C^{2,\beta}(B_{1/2}) $，对任意 $ \beta < \alpha $ 成立。
• 在 $ C^{2,\beta} $-范数中的正则性常数 $ C $ 仅依赖于 $ \beta, n, \lambda, \Lambda, \|f^{1/n}\|_{C^\alpha}, \|u\|_{L^\infty} $。
• 所构造的泛函 $ \tilde{F} $ 在 $ \text{Sym}(2n) $ 上是拟凹且一致椭圆的，其椭圆常数 $ \tilde{\theta} $ 仅依赖于 $ \lambda, \Lambda, n $。
• 扩展 $ \tilde{F} $ 在集合 $ E_\theta $ 上与原行列式 $ F $ 一致，从而保证在 $ B_{1/2} $ 内有 $ \tilde{F}(D^2u) = f^{1/n} $ 成立。
• 该方法避免了以往工作中使用的扰动技术，转而通过直接构造拟凹包络实现一致椭圆性。