[论文解读] A remark on Fremlin-Miller theorem concerning the Menger property and Michael concentrated sets

Józef Chaber, Roman Pol|arXiv (Cornell University)|May 18, 2023

Advanced Topology and Set Theory被引用 7

一句话总结

本文通过使用 Michael 在积空间中构造集中集的技术，强化了 Fremlin–Miller 关于 Menger 性质的定理，证明在任意不含具有非空内部的紧致子集的完全度量可分空间中，存在一个子集 M，其有限次幂具有 Menger 性质，但 M 不包含于任何 σ-紧集。该结果在 ZFC 下给出了一个非 σ-紧的 Menger 空间，且不依赖于 d 的取值。

ABSTRACT

The theorem we prove is a slight strengthening of some results by Just, Miller, Scheepers and Szeptycki [JMSS]. We use the Michael technique instead of the combinatorial approach in the literature. Comments by the submitter: This short unpublished paper, written in 2002, is a cornerstone in the study of selection principles and classic covering properties. It is the first to solve the Hurewicz Problem, by showing that there is, in ZFC, a real set with Menger's covering property (indeed, in all finite powers) but without Hurewicz's covering property. Unfortunately, web searches begin to miss this paper, and I sought, and received, permission from the authors to store this paper in the ArXiv, providing it a permanent link. The author's decision to not publish this paper, in light of some later stronger results by other authors (including myself), is a true act of generosity. Hopefully, this submission does some justice to their achievement.

研究动机与目标

• 将 Fremlin–Miller 关于 Menger 性质的定理推广至更广泛的拓扑空间类别。
• 在不含具有非空内部的紧致子集的完全度量可分空间中，证明存在一个非 σ-紧子集 M，使得 M 的所有有限次幂均为 Menger。
• 应用 Michael 在积空间中构造集中集的方法以达成此结果，避免此前使用的组合方法。
• 表明该构造不依赖于基数 d 的取值，尤其在 b = d 时依然成立。

提出的方法

• 使用一个完美满射 f: ℕ^ℕ → X，将 Baire 空间中的性质提升至目标空间 X。
• 定义 F(t) = {s ∈ ℕ^ℕ : s ≤* t} 为 ℕ^ℕ 中的 σ-紧集，并将其提升至 X 中的 F_α = f(F(t_α))。
• 当 b = d 时，在 ℕ^ℕ 中构造一个尺度 {t_α : α < d}，并利用它在 X^m(ξ) 中生成一个嵌套的 G_δ-集族 G_ξ，使其包含 Q^m。
• 使用超限归纳法选取点 x_α ∈ X \ Q，使得最终得到的集合 B = {x_α : α < d} 满足：在所有有限次幂中，M = Q ∪ B 关于 Q 实现集中性。
• 确保每个 x_α 的选取均避开 F_α，以防止 B 被包含于 X 的任何 σ-紧子集中。
• 利用如下性质：在 X^m 中，任何少于 d 个包含 Q^m 的 G_δ-集族均存在一个公共的 G_δ-邻域，从而支持归纳构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 Fremlin–Miller 定理能否被推广，以在一般完全度量可分空间（不含具有非空内部的紧致子集）中构造非 σ-紧的 Menger 空间？
• RQ2 Michael 构造集中集的技术是否允许在 ZFC 下构造一个空间 M，使得其有限次幂具有 Menger 性质但 M 本身非 σ-紧？
• RQ3 基数不变量 d 在确保大小小于 d 的空间具有 Menger 性质方面起何作用，特别是在 b = d 时？
• RQ4 如何确保空间 X 中的集合 M 不被包含于任何 σ-紧集，同时其所有有限次幂仍保持 Menger 性质？
• RQ5 能否通过在积空间中使用 G_δ-集，借助超限归纳法构造出 M 关于可数稠密集 Q 的集中性？

主要发现

• 对于任意不含具有非空内部的紧致子集的完全度量可分空间 X，存在一个子集 M = Q ∪ B，使得 M 的所有有限次幂均具有 Menger 性质。
• 集合 B 通过超限归纳法构造，以确保 M 不被包含于 X 的任何 σ-紧子集中，从而保证 M 非 σ-紧。
• 该构造依赖于 Michael 的技术：在选取点时避开 σ-紧集 F_α，同时在所有有限次幂中保持关于 Q 的集中性。
• 当 b < d 时，若 B ⊂ ℕ^ℕ 是大小为 b 的无界集，则 M = f(B) 在所有有限次幂中具有 Menger 性质，且非 σ-紧。
• 当 b = d 时，尺度 {t_α : α < d} 的存在性使得可在 X^m(ξ) 中构造 G_δ-集 G_ξ，满足任何少于 d 个包含 Q^m 的 G_δ-集族均存在一个公共的 G_δ-邻域。
• 由此得到的空间 M = Q ∪ B 具有强集中性：对任意 m 及任意包含 Q^m 的 G_δ-集族 H（满足 |H| < d），集合 M^m \ ⋂H 被包含于少于 d 个超平面的并集中。