[论文解读] A remark on measures of sections of $L_p$-balls

Alexander Koldobsky, Alain Pajor|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2016

Point processes and geometric inequalities参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文建立了 $ℝ^n$ 中 $L_p$-球体的任意偶连续测度下截面测度的精确界。通过结合 $L_p$ 子空间的外体积比估计与测度的切片不等式，证明了 $\mu(K) \leq (C\sqrt{p})^k \max_H \mu(K \cap H) \cdot |K|^{k/n}$，其中 $C$ 为绝对常数，将 Milman 的结果推广至一般测度，并将对 $p$ 的依赖关系从 $O(n^{1/2-1/p})$ 改进为 $O(\sqrt{p})$。该结果对任意 $p>2$，$n \in \mathbb{N}$，以及 $1 \leq k < n$ 成立。关键贡献在于，以 $p$ 表示的、对所有此类 $L_p$-单位球体及具有偶连续密度的测度均成立的、与维度无关的界。

ABSTRACT

We show that the slicing problem holds true for subspaces of $L_p,p&gt;2$ in the setting of arbitrary measures in place of volume. This generalizes a result of Milman for the original slicing problem.

研究动机与目标

• 将 Milman 对 $L_p$-单位球体的切片问题中 $O(\sqrt{p})$ 界从体积推广至任意偶连续测度。
• 解决一个开放问题：是否存在绝对常数 $C$，使得对 $p > 2$ 的 $L_p$-单位球体，有 $\mu(K) \leq C\sqrt{p} \max_\xi \mu(K \cap \xi^\perp) |K|^{1/n}$ 成立。
• 通过 $k$-维截面将测度的切片不等式推广至更高余维。
• 建立 $L_p$-单位球体到 $k$-截面体类的外体积比距离以 $O(\sqrt{p})$ 为界，且与维度无关。

提出的方法

• 利用 [K6] 中建立的从测度切片问题到 $\mathcal{BP}_k^n$ 类 $k$-截面体的外体积比距离的约化。
• 应用 Milman [M1] 的关键估计（亦见于 [DMT]），表明 $n$-维 $L_p$-单位球体到 $\mathcal{BP}_k^n$ 的外体积比距离至多为 $C\sqrt{p}$，其中 $C$ 为绝对常数。
• 运用 Lewis 定理，将 $L_p$-单位球体置于其范数可表示为球面上测度 $\nu$ 的积分的形式，从而实现体积与范数的估计。
• 利用体积的极坐标公式与球面上的 Radon 变换，将 $L_p$-范数与面积分联系起来，并应用 Stirling 公式。
• 将外体积比界与 [K6] 中的命题 1 结合，该命题将 $K$ 的测度与其中 $k$-余维截面的最大测度联系起来。
• 应用 Fubini 定理与已知的球面上 $|x_1|^p$ 的积分恒等式，推导出以 $n$、$p$ 和 $\nu$ 表示的 $K$ 体积的下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将 $L_p$-单位球体上切片问题的 $O(\sqrt{p})$ 界从体积推广至任意偶连续测度？
• RQ2 从 $L_p$-单位球体到 $k$-截面体类的外体积比距离是否仅以 $p$ 为变量有统一的有界性，且与维度 $n$ 无关？
• RQ3 对于 $k$-余维截面，广义切片不等式是否在仅依赖于 $p$ 的常数下成立，而与 $n$ 无关？
• RQ4 对于 $p > 2$ 的 $L_p$-单位球体，测度切片不等式中对 $p$ 的依赖关系能否从 $O(n^{1/2-1/p})$ 改进为 $O(\sqrt{p})$？
• RQ5 不等式 $\mu(K) \leq (C\sqrt{p})^k \max_H \mu(K \cap H) |K|^{k/n}$ 中的最优常数 $C$ 是多少，对 $L_p$-单位球体与偶连续测度而言？

主要发现

• 本文证明了对任意 $p > 2$，$n \in \mathbb{N}$，$1 \leq k < n$，以及 $L_p$ 的任意 $n$-维子空间，其到 $k$-截面体类 $\mathcal{BP}_k^n$ 的外体积比距离以 $C\sqrt{p}$ 为界，其中 $C$ 为绝对常数。
• 该界意味着对任意具有偶连续密度的测度 $\mu$，有 $\mu(K) \leq (C\sqrt{p})^k \max_{H \in \mathrm{Gr}_{n-k}} \mu(K \cap H) \cdot |K|^{k/n}$，且 $C$ 不依赖于 $n$、$p$、$k$、$K$ 或 $\mu$。
• 该界优于此前对同一问题的 $O(n^{1/2-1/p})$ 估计，实现了对 $p$ 的依赖关系的最优化，与 Milman 原始的 $L_p$-体积结果一致。
• 该结果在所有维度 $n$ 上一致成立，且常数 $C$ 为绝对常数，即不依赖于 $n$、$p$、$k$ 或具体的 $L_p$-子空间。
• 证明依赖于 Lewis 位置与涉及球面上 $L_p$-范数的积分恒等式，结合 Stirling 公式推导出体积的下界。
• 作者确认，外体积比估计是精确的，因为它与已知的 $O(\sqrt{p})$ 体积情形界一致，并将其推广至一般测度。