[论文解读] A remark on our paper "Negative Holomorphic curvature and positive canonical bundle"

Damin Wu, Shing‐Tung Yau|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文提供了在紧致凯勒流形上，当全纯截面曲率为负时，存在爱因斯坦-凯勒度量（Kähler-Einstein metrics）且其里奇曲率为负的全新证明，该证明绕过了数值有效性（numerical effectiveness）的依赖。此外，本文进一步证明了拟负全纯截面曲率意味着 canonical bundle 的正性，从而证实了一个猜想，并通过运用丘成桐（Yau）和郑绍远（Cheng）的估计以及隐函数理论，将先前工作的结果进行了推广。

ABSTRACT

This is a continuation of our first paper in [WY16]. There are two purposes of this paper: One is to give a proof of the main result in [WY16] without going through the argument depending on numerical effectiveness. The other one is to provide a proof of our conjecture, mentioned in [TY], where the assumption of negative holomorphic sectional curvature is dropped to quasi-negative. We should note that a solution to our conjecture is also provided by Diverio-Trapani [DT]. Both proofs depend on our argument in [WY16]. But our argument here makes use of the argument given by the second author and Cheng in [CY75].

研究动机与目标

• 提供 [WY16] 主要结果的替代证明，且不依赖于数值有效性。
• 证明 [TY] 中的猜想：拟负全纯截面曲率蕴含 canonical bundle 的正性。
• 将凯勒-爱因斯坦度量的存在性结果推广至全纯截面曲率为非正且在某点严格为负的情形。
• 通过 $c_1(K_X)^n$ 的积分正性，建立在拟负曲率下 canonical bundle 为非常 ample 的结论。
• 利用丘成桐与郑绍远的估计以及隐函数理论，统一并强化 [WY16] 的结果。

提出的方法

• 使用形如 $(t\omega + dd^c \log \omega^n + dd^c u_t)^n = e^{u_t} \omega^n$ 的蒙日-安培型方程，其中 $t \in [0, t_1]$。
• 应用隐函数定理，通过线性化算子 $\Delta_{t_0} - 1$ 的可逆性，证明解集 $I$ 在 $[0, t_1]$ 上的开性。
• 利用曲率估计与最大值原理导出的 $u_t$ 的一致 $C^{k+2,\alpha}$ 估计，证明 $I$ 的闭性。
• 运用不等式 $\Delta' \log S \geq \left[ \frac{t}{n} + \frac{(n+1)\kappa}{2n} \right] S - 1$ 来控制曲率算子的迹。
• 应用引理 3（全局 $L^2$-型指数可积性）与引理 4（次解的梯度估计），控制 $t=0$ 附近 $u_t$ 的行为。
• 利用勒贝格控制收敛定理与赫尔德不等式，证明 $\limsup_{t \to 0} \int_X \omega_t^n > 0$，从而推出 $\int_X c_1(K_X)^n$ 的正性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在全纯截面曲率为负的流形上，能否在不使用数值有效性的前提下证明凯勒-爱因斯坦度量的存在性？
• RQ2 拟负全纯截面曲率是否意味着 canonical bundle 为正（即 $\int_X c_1(K_X)^n > 0$）？
• RQ3 能否使用独立于代数几何的解析方法证实 [TY] 中的猜想？
• RQ4 在拟负曲率条件下，当 $t \to 0$ 时，蒙日-安培解 $u_t$ 的行为如何？
• RQ5 曲率估计与 $u_t$ 的 $L^p$ 有界性如何确保 canonical bundle 积分的正性？

主要发现

• 蒙日-安培方程的解集 $I$ 在 $[0, t_1]$ 上既是开集也是闭集，因此 $0 \in I$，从而得到光滑解 $u_0$，并由此构造出具有负里奇曲率的凯勒-爱因斯坦度量。
• 当 $X$ 具有负全纯截面曲率时，canonical bundle $K_X$ 为非常 ample，这由存在负里奇曲率的凯勒-爱因斯坦度量所证明。
• 对于拟负全纯截面曲率，通过 $L^p$ 有界性与 $\exp(u_t - \max u_t)$ 在 $L^1$ 中的收敛性，建立了 $\int_X c_1(K_X)^n > 0$。
• 利用勒贝格控制收敛定理与指数项上的赫尔德不等式，证明了 $\limsup_{t \to 0} \int_X \omega_t^n > 0$。
• $\|u_t\|_{C^{k+2,\alpha}} \leq C$ 在 $t \in (0, t_1]$ 上关于 $t$ 一致有界，确保了紧致性与子列的收敛性。
• 结果证实：拟负曲率蕴含 $K_X$ 为非常 ample，且根据莫伊舍松定理（Moishezon's theorem），$X$ 是射影的，从而将问题归约为射影情形。