[论文解读] A remark on Sarnak's conjecture

Régis de la Bretèche, Gérald Tenenbaum|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2017

Analytic Number Theory Research参考文献 8被引用 2

一句话总结

本文通过分析 Möbius 函数与实加法函数取固定值的整数集合的特征函数之间的相关性，研究了 Sarnak 猜想。利用乘法函数理论和有效均值估计技术，作者推导出该类整数上 μ(n) 的和的指数衰减界，表明当加法函数在满足 f(p)=1 的素数上避免取值时，其结果远小于 Halász 定理给出的平凡界。

ABSTRACT

We investigate Sarnak's conjecture on the M\"obius function in the special case when the test function is the indicator of the set of integers for which a real additive function assumes a given value.

研究动机与目标

• 研究当测试函数为实加法函数取固定值的整数集合的特征函数时，Sarnak 猜想的特殊情况。
• 通过引入 Möbius 函数的抵消效应，改进 Halász 对具有给定加法函数值的整数个数的经典界。
• 为加法函数水平集上 Möbius 函数的和建立定量估计，特别是当 f(p) ∈ {0,1} 时。
• 证明当加法函数稀疏（即在正密度的素数上满足 f(p)=0）时，Möbius 抵消强于一般 Halász 界。

提出的方法

• 使用傅里叶积分法将和 ∑_{f(n)=m} μ(n) 表示为指数和 M(x; #) = ∑_{n≤x} μ(n)e^{2πi#f(n)} 的积分形式。
• 应用乘法函数的有效均值估计（文献 [10] 中的定理 1.3）以控制形如 g(n) = μ(n)z^{f(n)} 的指数和 M(x; g)。
• 利用带修正误差项的 Halász 型均值估计，对指数和的实部与虚部分别建立点态界。
• 使用柯西积分公式提取对应于第 m 个水平集的傅里叶系数，将和与加法函数的生成函数联系起来。
• 应用分部求和法以及对 Euler 乘积对数导数的估计，控制主项与误差项。
• 通过与计数 N_m(x; f) 的比较，推导出 ∑_{f(n)=m} μ(n) 的精确渐近公式，表明其抵消程度与 e^{-2F(x)} 成正比。

实验结果

研究问题

• RQ1 Möbius 函数在加法函数的水平集上是否表现出超出 Halász 定理所暗示的非平凡抵消？
• RQ2 Möbius 抵消的强度如何依赖于满足 f(p)=1 的素数集合的稀疏性？
• RQ3 在何种条件下，可对 ∑_{f(n)=m} μ(n) 建立反映预期抵消的渐近公式？
• RQ4 当 f(p) ∈ {0,1} 时，Möbius 和在水平集上的衰减速率是否快于平凡界 O(x / √(1+E(x)))？
• RQ5 能否将乘法函数的有效均值定理调整以在 Sarnak 猜想背景下检测单个傅里叶系数？

主要发现

• 对于满足 f(p) ∈ {0,1} 的加法函数 f，和 Q(x; f, μ) := sup_m |∑_{f(n)=m} μ(n)| 的上界为 O( x(1+F(x))e^{-cF(x)} / √(1+E(x)) )，其中 c ≈ 0.30751。
• 当 F(x) = ∑_{p≤x, f(p)=0} 1/p 缓慢增长（例如 F(x) ≲ log₃x）时，水平集上的 Möbius 和以 e^{-2F(x)} 乘以主项的方式实现指数衰减。
• 在条件 (1·6) 和 (1·7) 下，和 ∑_{f(n)=m} μ(n) 满足渐近公式 (−1)^m N_m(x; f) [λ_f e^{-2F(x)} + O(1/(log₂x)^b) ]，其中 b > 0。
• 常数 λ_f = ∏_{f(p)=0} (1−1/p)/(1+1/p e^{2/p}) 反映了满足 f(p)=0 的素数的算术结构。
• 渐近公式中的误差项受满足 f(p)=0 的素数集合的对数大小控制，其在 log₂x 上呈多项式衰减。
• 结果在 Sarnak 猜想框架下确认了强烈的抵消效应，即水平集上 Möbius 和的衰减速度比平凡界快 e^{-2F(x)} 倍。