[论文解读] A remark on the continuous subsolution problem for the complex Monge-Ampère equation

Sławomir Kołodziej, Ngoc Cuong Nguyen|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文证明，若一个拟凸次解的模连续性满足一种Dini型条件，则复Monge-Ampère方程的Dirichlet问题存在连续解。关键贡献在于，在测度受容量控制的条件下，对解的模连续性给出了精确估计，从而将可解性结果推广至比Hölder连续次解更弱的连续性假设。

ABSTRACT

We prove that if the modulus of continuity of a plurisubharmonic subsolution satisfies a Dini type condition then the Dirichlet problem for the complex Monge-Ampère equation has the continuous solution. The modulus of continuity of the solution is also given if the right hand side is locally dominated by capacity.

研究动机与目标

• 当拟凸次解的模连续性满足Dini型条件时，建立复Monge-Ampère方程Dirichlet问题存在连续解的结论。
• 将先前要求次解为Hölder连续的可解性结果推广至更弱的连续性假设。
• 在测度受局部容量控制的条件下，推导解的显式模连续性估计。
• 将Dirichlet问题的可解测度类扩展至不具有$L^p$密度或Hölder连续次解的情形。

提出的方法

• 在拟凸次解$ \f $的模连续性$ /varpi(t) $上引入一种Dini型条件，要求$ \textstyle\bigint_{0}^{1} \frac{[/varpi(t)]^{1/n}}{t|\text{log}\thinspace t|} dt < \text{infty} $。
• 利用体积-容量不等式及修正版的Alexander-Taylor不等式，以容量控制Monge-Ampère测度。
• 采用 dyadic cubes 的覆盖论证方法，实现问题的局部化，并估计解的振幅。
• 通过函数$ F_0 $实现容量的均匀局部控制，推广了早期针对$ F_0(x) = Cx $或指数形式的结果。
• 将Dini条件与基于容量的测度控制$ \textstyle\text{supp}\thinspace\text{d}\thinspace\text{mu} \text{ in } \text{H}(\text{alpha},\text{Omega}) $相结合，导出解的定量模连续性估计。
• 利用相对极值函数与次水平集估计，控制次水平集的容量，最终导出连续性估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 当次解的正则性假设弱于Hölder连续性时，复Monge-Ampère Dirichlet问题的可解性是否仍可保证？
• RQ2 当测度受某个连续拟凸函数的Monge-Ampère测度容量控制时，解的最优模连续性是什么？
• RQ3 解的连续性如何依赖于测度的容量控制性质及区域的几何结构？
• RQ4 次解的模连续性满足Dini型条件，是否能确保连续解的存在？
• RQ5 解的振幅与到边界距离及次水平集容量之间的精确定量依赖关系是什么？

主要发现

• 若连续拟凸次解$ \f $的模连续性$ \textstyle\text{varpi}(t) $满足$ \textstyle\bigint_{0}^{1} \frac{[\text{varpi}(t)]^{1/n}}{t|\text{log}\thinspace t|} dt < \text{infty} $，则Dirichlet问题存在唯一连续解。
• 对于满足通过$ F_0 $实现均匀局部容量控制的测度$ \textstyle\text{mu} \text{ in } \text{H}(\text{alpha},\text{Omega}) $，解$ u $满足如下模连续性估计：$ \textstyle\text{varpi}(\text{delta};u,\text{Omega}) \text{leq} \text{varpi}(\text{delta};\text{psi},\text{partial}\text{Omega}) + C\big[\text{log}(R_0/\text{delta})^{-1/2} + F_0\big(C_0/[\text{log}(R_0/\text{delta})]^{1/2}\big)\big]^{\text{alpha}_1} $。
• 估计式中的常数$ C $和$ \text{alpha}_1 $仅依赖于$ \text{alpha}, \text{mu}, \text{和 } \text{Omega} $，与解或边界数据无关。
• 该结果改进了先前要求次解为Hölder连续的结论，表明具有Dini型模连续性的连续次解已足以保证可解性。
• 证明依赖于通过修正版的Alexander-Taylor不等式获得的精细容量估计，以及dyadic cubes的覆盖论证。
• 本文确立了具有Dini连续模连续性的连续次解可推出可解性，部分解决了该领域的一个开放问题。