[论文解读] A remark on the rigidity case of the positive energy theorem

Marc Nardmann|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文提供了正能量定理刚性情形的一个新证明，该证明不依赖于自旋结构。在渐近平坦情形下，若一个时空类空超曲面沿其自身具有零黎曼曲率，则该超曲面微分同胚于 $\mathbb{R}^n$，且可等距嵌入闵考斯基时空作为 $\mathbb{R}^n$ 上的图。该论证利用超曲面的万有覆盖空间，并通过水平集的拓扑性质建立微分同胚与等距浸入，而无需依赖于 Schoen-Yau 的原始几何构造。

ABSTRACT

In their proof of the positive energy theorem, Schoen and Yau showed that every asymptotically flat spacelike hypersurface M of a Lorentzian manifold which is flat along M can be isometrically imbedded with its given second fundamental form into Minkowski spacetime as the graph of a function from R^n to R; in particular, M is diffeomorphic to R^n. In this short note, we give an alternative proof of this fact. The argument generalises to the asymptotically hyperbolic case, works in every dimension n, and does not need a spin structure.

研究动机与目标

• 提供正能量定理刚性情形的另一种无自旋结构的证明。
• 证明沿其自身具有零黎曼曲率的类空超曲面微分同胚于 $\mathbb{R}^n$。
• 在最小假设下，建立其等距嵌入闵考斯基时空作为 $\mathbb{R}^n$ 上图的存在性。
• 将结果推广至无维数限制的渐近双曲情形。

提出的方法

• 利用超曲面 $M$ 的万有覆盖空间 $\tilde{M}$，将黎曼度量 $g$、法丛 $N$ 和第二基本形式 $K$ 提升。
• 应用超曲面理论的基本定理，将提升后的数据 $(\widetilde{M},\widetilde{g},\widetilde{N},\widetilde{K})$ 等距浸入到常曲率 $c \leq 0$ 的闵考斯基或反 de Sitter 时空。
• 通过水平集与连通分支的拓扑论证，证明投影 ${\rm pr} \circ f: \widetilde{M} \to \mathbb{R}^n$ 是微分同胚。
• 利用覆盖映射 $\pi: \widetilde{M} \to M$ 是单叶覆盖（因此是微分同胚）的事实，若 ${\rm pr} \circ f$ 下 $\pi^{-1}(Z)$ 的像是连通且紧致的。
• 利用目标时空等距变换下等距浸入的唯一性，确保嵌入本质上是唯一的。
• 应用一个拓扑引理（引理 5.1）证明：投影下紧致带边子流形 $Z \subset M$ 的原像连通且紧致，从而推出覆盖映射是微分同胚。

实验结果

研究问题

• RQ1 正能量定理的刚性情形是否可在不假设自旋结构或维数限制下证明？
• RQ2 在何种条件下，沿其自身具有零黎曼曲率的类空超曲面可等距嵌入闵考斯基时空作为 $\mathbb{R}^n$ 上的图？
• RQ3 当环境时空具有常曲率时，超曲面 $M$ 的高斯方程与 Codazzi 方程是否直接推出其微分同胚于 $\mathbb{R}^n$？
• RQ4 是否存在一个等距浸入至闵考斯基或反 de Sitter 时空，即可推出超曲面微分同胚于 $\mathbb{R}^n$？
• RQ5 何种拓扑条件可确保从 $\mathbb{R}^n$ 到 $M$ 的覆盖映射是微分同胚？

主要发现

• 若环境时空具有常曲率 $c \leq 0$ 且在 $M$ 上满足高斯方程与 Codazzi 方程，则超曲面 $M$ 微分同胚于 $\mathbb{R}^n$。
• 存在一个将超曲面数据集等距嵌入闵考斯基时空 $\mathbb{R}^{n,1}$ 的浸入，且在目标空间的等距变换下唯一。
• 该浸入在空间因子 $\mathbb{R}^n$ 上的投影是从万有覆盖 $\widetilde{M}$ 到 $\mathbb{R}^n$ 的微分同胚。
• 覆盖映射 $\pi: \widetilde{M} \to M$ 是微分同胚，因此 $M$ 本身也微分同胚于 $\mathbb{R}^n$。
• 该结果在所有维数 $n \geq 3$ 下成立，并可推广至无自旋结构的渐近双曲情形。
• 该证明表明，超曲面在 $\mathbb{R}^{n,1}$ 中作为 $\mathbb{R}^n$ 上的图被等距嵌入，从而其整体拓扑为 $\mathbb{R}^n$。