[论文解读] A remark on the similarity and perturbation problems

Jan Cameron, Erik Christensen+4 more|ENLIGHTEN (Jurnal Bimbingan dan Konseling Islam)|Jun 23, 2012

Advanced Operator Algebra Research参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文证明了C*-代数的Kadison相似问题等价于在Kadison-Kastler度量下共轭运算的连续性问题：若两个C*-代数在此度量下足够接近，其共轭是否也必须接近？该等价关系在全局和局部层面均成立，将算子代数中的一个基本问题与扰动理论及共轭的连续性联系起来。

ABSTRACT

In this note we show that Kadison's similarity problem for C*-algebras is equivalent to a problem in perturbation theory: must close C*-algebras have close commutants?

研究动机与目标

• 建立Kadison的相似问题与在Kadison-Kastler度量下共轭运算连续性之间的等价关系。
• 证明C*-代数的相似性质等价于在该代数附近取共轭的局部连续性。
• 将相似问题与更广泛的扰动理论问题联系起来，包括近似包含关系以及Kadison-Kastler度量与cb-度量的等价性。
• 通过C*-代数在小扰动下的共轭稳定性，为相似问题提供一种新的刻画方式。

提出的方法

• 将Kadison-Kastler度量定义为B(H)中C*-代数单位球之间的Hausdorff距离。
• 通过度量d(ι(A), B) < δ ⇒ d(ι(A)′, B′) < ε引入在C*-代数A处共轭连续的概念。
• 利用Kaplansky的可容许性定理和表示理论，将问题约化为可分希尔伯特空间上的冯诺依曼代数。
• 利用Arveson的距离公式以及D_K性质的概念，将相似问题与共轭的接近性联系起来。
• 建立相似性质与在A附近共轭映射的局部Lipschitz连续性之间的等价关系。
• 利用cb-度量和近似包含关系，证明该等价性可推广至完全有界扰动情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 Kadison的相似问题是否等价于在Kadison-Kastler度量下共轭运算的连续性？
• RQ2 在C*-代数A处取共轭的局部连续性是否意味着A具有相似性质？
• RQ3 Kadison-Kastler度量与cb-度量的等价性是否可由相似性质来刻画？
• RQ4 代数的近似包含关系诱导其共轭的近似包含关系，这一性质是否等价于相似问题？
• RQ5 若共轭映射在B(H)上全局连续，则是否存在一个统一的常数K > 0，使得所有C*-代数都具有D_K性质？

主要发现

• C*-代数A的相似问题等价于在Kadison-Kastler度量下于A处共轭运算的连续性。
• 若共轭运算在B(H)上全局连续，则所有C*-代数均具有D_K性质，其中K > 0为某一通用常数。
• 对于相似长度ℓ有限且长度常数为K的C*-代数A，共轭映射在A附近是局部Lipschitz连续的，其Lipschitz常数为C′_{ℓ,K}。
• 共轭的局部连续性意味着：若A ⊆_δ B，则对充分小的δ和ε，有B′ ⊆_ε A′。
• Kadison-Kastler度量与cb-度量的等价性，全局与局部均等价于相似性质。
• 所有C*-代数的相似问题均有正解，当且仅当共轭映射在B(H)的所有C*-子代数集合上连续。