[论文解读] A remark on the simple cuspidal representations of GL(n, F)

Peng Xu|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 5被引用 8

一句话总结

该论文在条件 $(n,p) = 1$ 下证明，对于非阿基米德局部域 $F$ 上的 $ {GL}(n,F)$ 的简单尖形式表示 $\pi$，其同构类由所有 $F^\times$ 上未ramified特征标 $\chi$ 的扭化表示 $\chi\pi$ 的局部 $\varepsilon$-因子唯一确定。该结果证实了雅克布局部反定理在归一化程度为 $\frac{1}{n}$ 的简单尖形式表示情形下的特例，利用可表示对的结构及通过高斯和显式计算局部常数。

ABSTRACT

Let $F$ be a non-archimedean local field of residue characteristic $p$, $G$ be the group $GL(n, F)$. In this note, under the assumption $(n, p)=1$, we show a simple cuspidal representation $π$ (that with normalized level $\frac{1}{n}$) of $G$ is determined uniquely up to isomorphism by the local constants of $χ\circ ext{det}\otimes π$ for all characters $χ$ of $F^ imes$.

研究动机与目标

• 在条件 $(n,p)=1$ 下，利用局部 $\varepsilon$-因子建立 $\mathrm{GL}(n,F)$ 简单尖形式表示的唯一性准则。
• 验证雅克布局部反定理在归一化程度为 $\frac{1}{n}$ 的表示情形下的特例。
• 证明简单尖形式表示的同构类由其所有 $F^\times$ 上特征标 $\chi$ 扭化后的 $\varepsilon$-因子唯一确定。
• 通过高斯和，给出 $\varepsilon$-因子在 $s=\frac{1}{2}$ 处关于特征标 $\theta$ 和加法特征标 $\psi$ 的显式公式。

提出的方法

• 证明利用了通过可表示对 $(E/F, \theta)$ 分类基本纯尖形式表示的结构，其中 $E/F$ 是次数为 $n$ 的完全分歧扩张。
• 应用局部 $\varepsilon$-因子公式 $\varepsilon(\pi_{E,\theta}, \frac{1}{2}, \psi) = \theta(\alpha)^{-1} \psi_{E/F}(\alpha)$，其中 $\alpha$ 满足对所有 $x \in \mathfrak{p}_E^{k+1}$ 有 $\theta(1+x) = \psi_{E/F}(\alpha x)$。
• 论证将问题约化为通过函数方程及高斯和性质比较 $\chi\pi$ 的 $\varepsilon$-因子。
• 利用当 $\pi$ 是归一化程度为 $\frac{1}{n}$ 的简单尖形式表示时，在可表示性条件下有 $\varepsilon(\chi\pi, s, \psi) = \varepsilon(\chi, s, \psi)^n$ 的事实。
• 证明依赖于中心类型结构及在 $\pi_{E,\theta}$ 构造中高斯和的行为，特别是通过公式 $\varepsilon(\pi, \frac{1}{2}, \psi) = (\mathfrak{A} : \mathfrak{P}^{1+l(\Lambda)})^{-1/2} \tau(\Lambda, \psi)$。
• 利用当 $m > 2l(\pi)$ 时，扭化 $\chi\pi$ 的中心类型为 $\chi\Lambda$，其高斯和简化为 $\omega_\pi(c)^{-1} \varepsilon(\chi, s, \psi)$，从而导出关键恒等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathrm{GL}(n,F)$ 上，简单尖形式表示的同构类能否由其所有 $F^\times$ 上特征标 $\chi$ 扭化后的 $\varepsilon$-因子唯一确定？
• RQ2 在 $(n,p) = 1$ 条件下，雅克布局部反定理是否对归一化程度为 $\frac{1}{n}$ 的简单尖形式表示成立？
• RQ3 由可表示对 $(E/F, \theta)$ 构造的简单尖形式表示在 $s = \frac{1}{2}$ 处的 $\varepsilon$-因子是否有显式公式？
• RQ4 当 $\pi$ 为简单尖形式表示且 $\chi$ 高度ramified 时，$\chi\pi$ 的 $\varepsilon$-因子行为如何？

主要发现

• 在 $(n,p) = 1$ 假设下，$\mathrm{GL}(n,F)$ 上的两个简单尖形式表示 $\pi_1$ 和 $\pi_2$ 同构，当且仅当对所有 $F^\times$ 上的特征标 $\chi$ 及所有 $s \in \mathbb{C}$，其扭化表示的 $\varepsilon$-因子 $\varepsilon(\chi\pi_i, s, \psi)$ 相等。
• 对于简单尖形式表示 $\pi_{E,\theta}$，其在 $s = \frac{1}{2}$ 处的 $\varepsilon$-因子为 $\varepsilon(\pi_{E,\theta}, \frac{1}{2}, \psi) = \theta(\alpha)^{-1} \psi_{E/F}(\alpha)$，其中 $\alpha$ 满足对所有 $x \in \mathfrak{p}_E^{k+1}$ 有 $\theta(1+x) = \psi_{E/F}(\alpha x)$。
• 对于归一化程度为 $\frac{1}{n}$ 的简单尖形式表示 $\pi$，其扭化表示 $\chi\pi$ 的 $\varepsilon$-因子满足 $\varepsilon(\chi\pi, s, \psi) = \varepsilon(\chi, s, \psi)^n$，这是唯一性论证的关键。
• 表示 $\pi_{E,\theta}$ 的中心特征标为 $\theta|_{F^\times}$，且扭化 $\chi \cdot \pi_{E,\theta}$ 同构于 $\pi_{E, \chi_E \cdot \theta}$，其中 $\chi_E = \chi \circ N_{E/F}$。
• 证明表明，$\varepsilon$-因子条件迫使 $\pi_1$ 和 $\pi_2$ 从相同的域扩张 $E/F$ 和相同的特征标 $\theta$ 构造而来，至同构意义。
• 可表示性条件 $(n,p) = 1$ 在当前证明中至关重要，尽管作者猜想该结果在无此条件时仍成立。