[论文解读] A Remark on Two Extensions of the Disc Algebra and Mergelyan's Theorem

Vassili Nestoridis, Ioannis Papadoperakis|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2011

Meromorphic and Entire Functions参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文将Mergelyan定理推广至使用弦度量χ和复平面的另一种紧化方式，在闭约旦区域上的一致逼近。证明了在这些区域上，多项式χ-一致极限的函数类与广义圆盘代数扩展一致，包括具有球面或调和无穷型边界行为的函数。

ABSTRACT

We investigate the set of uniform limits of polynomials on any closed Jordan domain with respect to the chordal metric $χ$ on $\mathbb{C}\cup\{\infty \}$. We conclude that Mergelyan's Theorem may be extended to the case of uniform approximation with respect to $χ$ on closed Jordan domains. Similar results are obtained if we replace the one point compactification $\mathbb{C}\cup\{\infty\}$ of $\mathbb{C}$ by another compactification of $\mathbb{C}$ homeomorphic to the closed unit disc.

研究动机与目标

• 将Mergelyan的经典多项式逼近定理推广至闭约旦区域上关于弦度量χ的一致收敛设定。
• 研究闭约旦区域上多项式χ-一致极限的类是否与包含具有无穷值的函数的广义圆盘代数一致。
• 分析复平面的另一种紧化方式（与闭单位圆盘同胚），其中无穷远点表示为一个点的圆周。
• 在新紧化方式和度量下，表征闭约旦区域上多项式的一致极限集合。
• 建立两个广义函数类均作为其各自度量下多项式的统一极限。

提出的方法

• 利用黎曼映射定理，通过共形映射φ: D → Ω，将问题从一般约旦区域Ω转移到单位圆盘D。
• 将广义类$χ$-A(Ω)定义为函数f: $χ$-A(Ω) → ℂ ∪ {∞}，其在$χ$-A(Ω)上连续，在Ω内全纯，且在边界上具有在ℂ ∪ {∞}中的 radial 极限。
• 应用已知结果：$χ$-A(D)等于在$χ$-A(D)上多项式χ-一致极限的集合，使用ℂ ∪ {∞}上的弦度量χ。
• 利用三角不等式和度量比较（χ(a,b) ≤ |a−b|），将Ω上的χ-收敛与D上的一致收敛关联，并反推多项式逼近。
• 通过映射z ↦ z/(1+|z|)引入复平面的另一种紧化方式，诱导出ℂ ∪ {∞·e^{iθ}}上的度量d。
• 将类$χ$-A(Ω)定义为在$χ$-A(Ω)上连续、在Ω内全纯，且具有g(z) = ∞·e^{iθ(z)}形式的无穷型函数，其中θ在$χ$-A(Ω)上连续且在Ω内调和。

实验结果

研究问题

• RQ1 Mergelyan定理能否推广至闭约旦区域上关于弦度量χ的一致逼近？
• RQ2 闭约旦区域Ω上多项式χ-一致极限的类是否与广义圆盘代数$χ$-A(Ω)一致？
• RQ3 在复平面的另一种紧化方式下（∞被一个点的圆周取代），多项式在Ω上的一致极限集合具有何种结构？
• RQ4 无穷远点的辐角（θ(z)）的调和边界行为如何影响扩展函数类中的逼近性质？
• RQ5 具有调和无穷型边界值的函数类是否等于在度量d下多项式的一致极限集合？

主要发现

• 在$χ$-A(Ω)上连续、在Ω内全纯且边界值属于ℂ ∪ {∞}的函数类$χ$-A(Ω)，与在$χ$-A(Ω)上多项式χ-一致极限的集合一致。
• 对任意g ∈ $χ$-A(Ω)，存在多项式序列Q_n，使得当n → ∞时，sup_{z∈$χ$-A(Ω)} χ(Q_n(z), g(z)) → 0。
• 证明依赖于通过黎曼映射将问题转移至单位圆盘，并利用已知的$χ$-A(D)中多项式χ-逼近性质。
• 复平面的另一种紧化方式诱导出度量d，使得类$χ$-A(Ω)在该度量下同样被表征为多项式在$χ$-A(Ω)上的统一d-极限。
• 在$χ$-A(Ω)中无穷型函数的形式为g(z) = ∞·e^{iθ(z)}，其中θ在$χ$-A(Ω)上连续且在Ω内调和。
• 该结果在球面与紧化复数逼近的背景下，建立了Mergelyan定理的直接类比，将经典多项式逼近推广至包含具有无穷边界值的函数。