[论文解读] A Remarkable Property of the Dynamic Optimization Extremals

Delfim F. M. Torres|ArXiv.org|Dec 6, 2002

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 28被引用 6

一句话总结

本文建立了一般条件，使得函数 $ F(t,x,u,\psi_0,\psi) $ 沿庞特里亚金极小轨道满足动态演化方程，推广了众所周知的哈密顿量守恒。关键贡献在于给出了 $ F $ 为运动常数的充要条件，从而可发现超越动量映射的守恒量，包括依赖于控制变量的守恒量。

ABSTRACT

At the core of optimal control theory is the Pontryagin maximum principle - the celebrated first order necessary optimality condition - whose solutions are called extremals and which are obtained through a function called Hamiltonian, akin to the Lagrangian function used in ordinary calculus optimization problems. A remarkable property of the extremals is that the total derivative with respect to time of the corresponding Hamiltonian equals the partial derivative of the Hamiltonian with respect to time. In particular, when the Hamiltonian does not depend explicitly on time, the value of the Hamiltonian evaluated along the extremals turns out to be constant (a property that corresponds to energy conservation in classical mechanics). We present a generalization of the above property. As applications of the new relation, methods for obtaining conserved quantities along the Pontryagin extremals and for characterizing problems possessing given constants of the motion are obtained.

研究动机与目标

• 将哈密顿量沿极小轨道的守恒性推广至更广泛的函数类 $ F(t,x,u,\psi_0,\psi) $。
• 推导 $ F $ 沿庞特里亚金极小轨道为运动常数的必要与充分条件。
• 提出一种构造具有指定守恒量的最优控制问题的方法。
• 识别出非 $ \psi \cdot C(x) $ 形式的守恒量，从而扩展至超越动量映射结构的范围。

提出的方法

• 推导函数 $ F $ 沿极小轨道的全时间导数的微分方程，表达为 $ \frac{dF}{dt} = \frac{\partial F}{\partial t} + \frac{\partial F}{\partial x} \cdot \frac{\partial H}{\partial \psi} - \frac{\partial F}{\partial \psi} \cdot \frac{\partial H}{\partial x} $。
• 将该关系应用于哈密顿量 $ H $，恢复已知结果 $ \frac{dH}{dt} = \frac{\partial H}{\partial t} $。
• 利用推导出的条件，通过求解关于 $ H $ 的偏微分方程，表征给定函数 $ F $ 沿极小轨道守恒的情形。
• 构造具有特定守恒量的最优控制问题实例，包括非动量型不变量。
• 在特定情形（如时间齐次系统和齐次系统）下，利用推导条件验证守恒性。
• 利用极大化条件 $ \frac{\partial H}{\partial u} = 0 $ 简化表达式并确认不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，函数 $ F(t,x,u,\psi_0,\psi) $ 沿庞特里亚金极小轨道保持恒定？
• RQ2 能否找到非 $ \psi \cdot C(x) $ 形式的守恒量，即非动量映射形式的守恒量？
• RQ3 如何构造一个最优控制问题，使其允许给定函数 $ F $ 作为运动常数？
• RQ4 哈密顿量守恒律 $ \frac{dH}{dt} = \frac{\partial H}{\partial t} $ 的推广形式，对任意函数 $ F $ 是什么？
• RQ5 在哪些问题类别中（如自治、齐次系统）会涌现出新型守恒量？

主要发现

• 当且仅当满足推导出的条件时，函数 $ F $ 沿极小轨道满足 $ \frac{dF}{dt} = \frac{\partial F}{\partial t} + \frac{\partial F}{\partial x} \cdot \frac{\partial H}{\partial \psi} - \frac{\partial F}{\partial \psi} \cdot \frac{\partial H}{\partial x} $。
• 函数 $ F $ 为运动常数的充要条件是：表达式 $ \frac{\partial F}{\partial t} + \frac{\partial F}{\partial x} \cdot \frac{\partial H}{\partial \psi} - \frac{\partial F}{\partial \psi} \cdot \frac{\partial H}{\partial x} $ 在极小轨道上恒为零。
• 本文构造了一个问题，其中在齐次性条件 $ X_i(\lambda x_1) = \lambda X_i(x_1) $ 下，$ F = \psi_1 x_1 + \psi_2 x_2 $ 保持守恒，展示了非动量型守恒的实例。
• 对于代价泛函为 $ \int \frac{L(tx,u)}{t} dt $ 的问题，函数 $ \psi x + H t $ 是一个运动常数，说明存在非平凡的守恒量。
• 该条件使得可通过求解 $ H $ 的偏微分方程，合成具有给定守恒量 $ F $ 的最优控制问题。
• 该方法成功识别出依赖于控制变量的守恒量，如 $ F = \psi_3 u_1 - \psi_4 u_2 $，其无法表示为 $ \psi \cdot C(x) $ 形式。