[论文解读] A representation of exchangeable hierarchies by sampling from real trees

Noah Forman, Chris Haulk+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 54被引用 9

一句话总结

本文通过从配备概率测度的随机加权实树中独立同分布抽样，建立了正整数上可交换层次结构的表示。它表明，每个可交换层次结构要么来自带有随机测度的随机实树，要么通过 [0,1] 上的层次结构与独立同分布的均匀标签实现，从而通过随机树嵌入和对驱动测度的原子、连续与扩散分量的分解，提供了完整的概率表征。

ABSTRACT

A hierarchy on a set $S$, also called a total partition of $S$, is a collection $\mathcal{H}$ of subsets of $S$ such that $S \in \mathcal{H}$, each singleton subset of $S$ belongs to $\mathcal{H}$, and if $A, B \in \mathcal{H}$ then $A \cap B$ equals either $A$ or $B$ or $\varnothing$. Every exchangeable random hierarchy of positive integers has the same distribution as a random hierarchy $\mathcal{H}$ associated as follows with a random real tree $\mathcal{T}$ equipped with root element $0$ and a random probability distribution $p$ on the Borel subsets of $\mathcal{T}$: given $(\mathcal{T},p)$, let $t_1,t_2, ...$ be independent and identically distributed according to $p$, and let $\mathcal{H}$ comprise all singleton subsets of $\mathbb{N}$, and every subset of the form $\{j: t_j \in F_x\}$ as $x$ ranges over $\mathcal{T}$, where $F_x$ is the fringe subtree of $\mathcal{T}$ rooted at $x$. There is also the alternative characterization: every exchangeable random hierarchy of positive integers has the same distribution as a random hierarchy $\mathcal{H}$ derived as follows from a random hierarchy $\mathscr{H}$ on $[0,1]$ and a family $(U_j)$ of IID uniform [0,1] random variables independent of $\mathscr{H}$: let $\mathcal{H}$ comprise all sets of the form $\{j: U_j \in B\}$ as $B$ ranges over the members of $\mathscr{H}$.

研究动机与目标

• 使用随机实树表征正整数上可交换层次结构的分布。
• 通过从带有概率测度的随机加权实树中独立同分布抽样，建立可交换层次结构的随机表示。
• 通过 [0,1] 上的层次结构与独立同分布的均匀标签，提供另一种表示。
• 探索驱动测度分解为原子、连续与扩散分量的结构。
• 将 de Finetti 型定理推广至层次结构设定，识别出独立生成与可交换性的条件。

提出的方法

• 通过可测映射，从可交换层次结构构造一个随机根、加权实树 (T, 0, ℓ₁, p)。
• 从树 T 上的概率测度 p 中独立同分布抽样点 (t_j)，将层次结构 H 定义为所有集合 {j : t_j ∈ F(x)}，其中 F(x) 是以 x ∈ T 为根的枝形子树。
• 使用另一种表示：在 [0,1] 上抽取一个层次结构 H 和独立同分布的 Uniform[0,1] 变量 (U_j)，然后将 H 定义为 {j : U_j ∈ B}，其中 B ∈ H。
• 将树上的驱动测度 p 表征为三部分之和：纯原子部分（爆炸）、连续部分（侵蚀）和扩散部分（大块存活）。
• 应用 EPPF（可交换划分概率函数）框架，将层次结构与随机测度及对称多项式联系起来。
• 使用 Kingman 单纯形与幂对称多项式，将 EHPF（可交换层次概率函数）表示为单纯形上的积分。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个正整数上的可交换层次结构是否都能表示为从带有随机概率测度的随机实树中独立同分布抽样的像？
• RQ2 驱动测度 p 在树上的结构分解为原子、连续与扩散分量是什么？它们在层次结构中代表什么？
• RQ3 是否存在可交换层次结构的 EPPF 表示的全面类比，使其超越有序分裂过程的范围？
• RQ4 在何种条件下，层次结构的分布可由 [0,1] 上的层次结构经均匀标记生成？
• RQ5 仅通过拓扑与测度论不变量，能否判断两个随机树-测度对之间是否同构？

主要发现

• 每个正整数 ℕ 上的可交换层次结构在分布上等价于从随机加权实树 (T, 0, p) 中通过独立同分布抽样生成的层次结构，其中每个块对应落入枝形子树的点。
• 存在一种等价表示：通过 [0,1] 上的层次结构与独立同分布的 Uniform[0,1] 标签，其中块由落入层次成员的标签集合定义。
• 树上驱动测度 p 几乎必然可分解为三部分：p_a（原子部分，对应爆炸）、p_s（连续部分，对应侵蚀）和 p_l（扩散部分，对应大块存活）。
• EHPF（可交换层次概率函数）可唯一分解为满足在不相交集合上乘积规则的分量，从而表征独立生成的层次结构。
• EHPF 可表示为使用幂对称多项式在 Kingman 单纯形上的积分，将 EPPF 框架推广至层次结构。
• 本文建立了层次结构的 de Finetti 型定理，表明可交换性与独立生成意味着可通过实树上的随机测度进行表示。