[论文解读] A Residual Based A Posteriori Error Estimators for AFC Schemes for Convection-Diffusion Equations

Abhinav Jha|arXiv (Cornell University)|May 6, 2020

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 37被引用 8

一句话总结

本文为对流-扩散方程的代数通量修正（AFC）格式在能量范数下提出了一种基于残差的后验误差估计器。它为一般限制器建立了全局上界，并比较了两种策略——AFC-energy与AFC-SUPG-energy——表明前者尽管效果性不鲁棒，仍能实现更优的自适应加密；而后者虽效果性指数更优，但层分辨率较差。

ABSTRACT

In this work, we propose a residual-based a posteriori error estimator for algebraic flux-corrected (AFC) schemes for stationary convection-diffusion equations. A global upper bound is derived for the error in the energy norm for a general choice of the limiter, which defines the nonlinear stabilization term. In the diffusion-dominated regime, the estimator has the same convergence properties as the true error. A second approach is discussed, where the upper bound is derived in a posteriori way using the Streamline Upwind Petrov Galerkin (SUPG) estimator proposed in \cite{JN13}. Numerical examples study the effectivity index and the adaptive grid refinement for two limiters in two dimensions.

研究动机与目标

• 为AFC格式在能量范数下开发一种可靠的后验误差估计器。
• 分析估计器在不同扩散 regimes 下的收敛性与鲁棒性。
• 比较两种策略——AFC-energy与AFC-SUPG-energy——以推导后验误差估计中的上界。
• 通过两种限制器（Kuzmin与BJK）评估估计器在自适应网格加密中的性能。
• 研究限制器选择与网格自适应对误差收敛性与层分辨率的影响。

提出的方法

• 采用基于残差的方法，为一般AFC格式推导能量范数误差的全局上界。
• 引入第二种策略，利用[JN13]中基于SUPG的误差估计器推导后验上界。
• 采用分片线性有限元方法，并通过具体常数分析迹不等式以实现误差估计。
• 采用拟合加密与红-绿加密策略实施自适应网格加密。
• 通过二维数值模拟，在不同限制器与扩散参数下比较AFC-energy与AFC-SUPG-energy估计器的性能。
• 通过效果性指数与smearint度量评估估计器质量，以评估层厚度分辨率。

实验结果

研究问题

• RQ1 所提出的基于残差的误差估计器在不同对流-扩散 regimes 下的效果性指数表现如何？
• RQ2 限制器的选择（Kuzmin 与 BJK）是否显著影响AFC格式的收敛性与加密行为？
• RQ3 AFC-energy与AFC-SUPG-energy策略在解析内部层与边界层方面表现如何比较？
• RQ4 采用红-绿加密策略的自适应网格加密对Kuzmin限制器的收敛阶有何影响？
• RQ5 当问题变为局部扩散主导时，该估计器能否可靠地指导网格自适应？

主要发现

• AFC-energy估计器在扩散主导区域表现出与真实误差相同的收敛特性，但其效果性指数对ε不鲁棒，尤其在强对流主导情况下表现不佳。
• AFC-SUPG-energy估计器的效果性指数优于AFC-energy估计器，主要归因于ηSUPG项的主导作用。
• 限制器选择对AFC-SUPG-energy策略影响甚微，因为ηSUPG主导了误差估计器。
• 对于采用拟合闭合与红-绿加密的Kuzmin限制器，当问题变为局部扩散主导时，观测到收敛阶降低。
• 对于Kuzmin限制器，AFC贡献项ηdh主导误差估计器；而对于BJK限制器，ηdh仅在对流主导区域占主导，随着层的解析而减弱。
• 在自适应加密中，AFC-energy技术在解析多层（包括较弱的抛物层）方面优于AFC-SUPG-energy。