[论文解读] A residual-based bootstrap for functional autoregressions

Jürgen Franke, Euna Nyarige|arXiv (Cornell University)|May 18, 2019

Statistical Methods and Inference参考文献 28被引用 8

一句话总结

本文在希尔伯特空间中建立了对一阶函数自回归过程（FAR(1)）的残差自展法的渐近有效性。通过证明中心化样本创新项的经验分布以马洛斯距离收敛于真实创新分布，本文为样本均值和经验协方差算子估计的推断提供了理论依据。

ABSTRACT

We consider the residual-based or naive bootstrap for functional autoregressions of order 1 and prove that it is asymptotically valid for, e.g., the sample mean and for empirical covariance operator estimates. As a crucial auxiliary result, we also show that the empirical distribution of the centered sample innovations converges to the distribution of the innovations with respect to the Mallows metric.

研究动机与目标

• 建立一阶函数自回归模型中残差自展法的理论有效性。
• 解决函数时间序列中缺乏全面自展理论的问题，特别是在依赖性、无限维数据的背景下。
• 为基于重采样的推断提供坚实的理论基础，特别是针对样本均值和经验协方差算子等关键统计量。
• 弥合函数时间序列分析中实际自展应用与理论依据之间的差距。

提出的方法

• 通过从中心化样本创新项 $ \hat{\epsilon}_t = X_t - \hat{\Psi}(X_{t-1}) $ 中重采样，使用残差自展法，其中 $ \hat{\Psi} $ 是自回归算子的估计值。
• 采用马洛斯距离来度量中心化创新项经验分布向真实创新分布的收敛性。
• 在希尔伯特空间框架下进行分析，其中 $ X_t \in \mathcal{H} $，且 $ \mathcal{H} $ 通常为 $ L^2[0,1] $，并将过程建模为 $ X_{t+1} = \Psi(X_t) + \epsilon_{t+1} $。
• 通过经验协方差算子的收敛性以及重采样过程在马洛斯距离下的行为，分析自展法的有效性。
• 利用算子范数和随机界来控制自展近似中的误差项，特别关注 $ \| \Psi - \hat{\Psi}_n \|_{\mathcal{L}} $ 和 $ d_2(F, \hat{F}_n) $。
• 通过柯西-施瓦茨不等式和矩条件，建立自展误差项的统一有界性，表明自展误差在时间索引上一致地为 $ o_p(1) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 残差自展法对一阶函数自回归过程是否具有渐近有效性？
• RQ2 中心化样本创新项的经验分布是否在马洛斯距离下收敛于真实创新分布？
• RQ3 在函数时间序列中，能否可靠地使用自展法对样本均值和经验协方差算子进行推断？
• RQ4 在希尔伯特空间设定下，自展误差在何种条件下会渐近趋于零？
• RQ5 自展法如何处理函数自回归中依赖结构和算子估计不确定性的问题？

主要发现

• 残差自展法对一阶函数自回归模型中样本均值和经验协方差算子估计具有渐近有效性。
• 中心化样本创新项的经验分布以马洛斯距离收敛于真实创新分布。
• 经验协方差算子估计的自展误差在时间索引上一致地为 $ o_p(1) $。
• 在矩条件成立的前提下，包括 $ \text{E}^*\|X_0^\prime\|^3 < \infty $ 和 $ \text{E}^*\|\epsilon_k^\prime\| < \infty $，建立了创新分布的收敛性。
• 通过算子范数界和马洛斯距离控制自展近似误差，确保了重采样过程的一致性。
• 理论依据支持在小到中等样本量下，使用自展法进行分位数估计和预测区间构建，尤其适用于函数时间序列。