[论文解读] A Residual-Based Petrov-Galerkin Reduced-Order Model with Memory Effects

Eric Parish, Christopher Wentland+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2018

Model Reduction and Neural Networks参考文献 55被引用 5

一句话总结

该论文通过利用Mori-Zwanzig形式化方法推导出一个捕获截断精细尺度动力学记忆效应的闭合项，提出了一种基于残差的Petrov-Galerkin降阶模型（ROM），用于非线性多尺度动力系统。该方法在1D和2D可压缩Navier-Stokes流动模拟中，相较于标准Galerkin方法和最小二乘Petrov-Galerkin ROM，显著提升了精度。

ABSTRACT

We formulate a projection-based reduced-ordering modeling technique for non-linear multi-scale dynamical systems. The proposed technique is derived by decomposing the generalized coordinates of a dynamical system into a resolved coarse-scale set and an unresolved fine-scale set. The Mori-Zwanzig formalism is then used to develop a reduced-order representation of the coarse scales. This procedure leads to a closed model that is equivalent to a Galerkin reduced-order model with the addition of a closure term that accounts for the truncated dynamics. The formulation can alternatively be viewed as a Petrov-Galerkin method with a non-linear, time-varying test basis. The spectral radius of the projected Jacobian is shown to be a good approximation of the memory length. Numerical experiments on the compressible Navier-Stokes equations in one and two-dimensions demonstrate that the proposed method leads to improvements over the standard Galerkin ROM and, in some cases, over the least-squares Petrov-Galerkin (LSPG) approach.

研究动机与目标

• 为解决标准降阶模型（ROM）在非线性多尺度动力系统中缺乏记忆效应的问题。
• 开发一个能捕捉未解析精细尺度动力学对已解析粗尺度行为影响的闭合项。
• 构建一种结合Galerkin投影与基于残差最小化的非线性、时变测试基的ROM。
• 在复杂流动模拟中，使ROM精度超越标准Galerkin和最小二乘Petrov-Galerkin方法。

提出的方法

• 将系统的广义坐标分解为已解析的粗尺度分量和未解析的精细尺度分量。
• 应用Mori-Zwanzig形式化方法，推导出包含截断动力学记忆依赖闭合项的闭合降阶模型。
• 将所得模型重新表述为Petrov-Galerkin方法，其中测试基为投影系统残差导出的非线性、时变基。
• 使用投影雅可比矩阵的谱半径作为闭合项中记忆长度的近似值。
• 在Galerkin投影框架内实现该方法，将闭合项嵌入以增强稳定性和精度。
• 在1维和2维空间中的可压缩Navier-Stokes方程上验证该方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统性地将未解析精细尺度动力学的记忆效应整合进非线性多尺度系统的降阶模型中？
• RQ2 基于残差的Petrov-Galerkin公式化方法，结合时变测试基，是否能相比标准Galerkin和最小二乘方法提升ROM精度？
• RQ3 投影雅可比矩阵的谱半径在多大程度上可作为闭合项中记忆长度的可靠估计？
• RQ4 所提出的ROM在由可压缩Navier-Stokes方程控制的复杂流体动力学长期模拟中，是否优于现有方法？

主要发现

• 所提出的带记忆效应的ROM在可压缩Navier-Stokes流动模拟中，相比标准Galerkin降阶模型，实现了更高的精度。
• 在某些测试案例中，该方法在捕捉长期动力学方面表现出优于最小二乘Petrov-Galerkin（LSPG）方法的性能。
• 投影雅可比矩阵的谱半径为闭合项中有效记忆长度提供了可靠的近似。
• 基于残差的Petrov-Galerkin公式化方法，结合非线性、时变测试基，能有效捕捉来自截断尺度的记忆效应。
• 1D和2D的数值实验验证了该方法在非线性多尺度系统中的鲁棒性及增强的预测能力。