[论文解读] A review of Local-to-Nonlocal coupling methods in nonlocal diffusion and nonlocal mechanics

Marta D’Elia, Xingjie Li+3 more|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2019

Numerical methods in engineering参考文献 121被引用 11

一句话总结

本文综述了非局部扩散与微平面力学中局部-非局部（LtN）耦合方法，根据过渡区处理方式、patch test一致性以及公式类型（能量型或力型）对方法进行分类。尽管实现方式各异（如重叠式、混合式、界面分明式或可变horizon），但保持一致性、相容性与计算效率仍是关键挑战，尚无一种方法在所有问题中均表现最优。

ABSTRACT

Local-to-Nonlocal (LtN) coupling refers to a class of methods aimed at combining nonlocal and local modeling descriptions of a given system into a unified coupled representation. This allows to consolidate the accuracy of nonlocal models with the computational expediency of their local counterparts, while often simultaneously removing additional nonlocal modeling issues such as surface effects. The number and variety of proposed LtN coupling approaches have significantly grown in recent year, yet the field of LtN coupling continues to grow and still has open challenges. This review provides an overview of the state-of-the-art of LtN coupling in the context of nonlocal diffusion and nonlocal mechanics, specifically peridynamics. We present a classification of LtN coupling methods and discuss common features and challenges. The goal of this review is not to provide a preferred way to address LtN coupling but to present a broad perspective of the field, which would serve as guidance for practitioners in the selection of appropriate LtN coupling methods based on the characteristics and needs of the problem under consideration.

研究动机与目标

• 提供非局部扩散与微平面力学中局部-非局部（LtN）耦合方法的全面、最新综述。
• 根据过渡区处理方式、公式类型（能量型或力型）以及patch test一致性，对现有LtN耦合方法进行分类。
• 识别各类方法的共性挑战与特征，包括渐近相容性、计算效率与数值稳定性。
• 根据问题特定需求、可用离散化方式与数据访问情况，为实践者提供选择合适LtN方法的指导。
• 尽管已有大量方法被提出且日趋复杂，但仍需强调该领域存在的开放性挑战。

提出的方法

• 根据过渡区处理方式将LtN耦合方法分类为：重叠式、混合式、界面分明式与可变horizon方法。
• 采用两种主要公式：能量型（适用于静态问题，确保能量守恒）与力型（适用于静态与动态问题，缺乏明确定义的能量泛函）。
• 通过关键属性评估方法：渐近相容性（当horizon → 0时收敛至局部极限）、patch test一致性（对多项式阶次的精确或近似满足）以及侵入性（非侵入式 vs. 侵入式实现）。
• 回顾具体方法，包括基于优化的方法、分区法、Arlequin法、变形法、拟非局部法、混合法、拼接法、收缩horizon法与部分应力法，各类方法具有独特的数学公式与实现特征。
• 分析可变horizon方法中horizon参数δ的作用及其对一致性和相容性的影响。
• 比较各类方法在数值性能与理论特性上的差异，强调精度、稳定性与计算成本之间的权衡。

实验结果

研究问题

• RQ1 各类LtN耦合方法在过渡区处理方式上存在哪些关键差异？
• RQ2 能量型与力型公式的应用如何影响LtN耦合在静态与动态问题中的一致性与适用性？
• RQ3 现有LtN方法在多大程度上通过线性patch test？其对精度与收敛性有何影响？
• RQ4 在局部与非局部区域之间实现渐近相容性并保持一致性的主要挑战是什么？
• RQ5 方法特有特征（如重叠、混合或可变horizon）如何影响计算效率与实现复杂度？

主要发现

• 部分应力法实现渐近相容性，误差阶为δ，确保当horizon δ → 0时收敛至局部极限。
• 拼接法与部分应力法均实现精确的线性patch test一致性，而其他方法如变形法与拟非局部法仅实现近似一致性。
• 可变horizon方法（如收缩horizon法与部分应力法）具有渐近相容性，且其在非侵入式或侵入式实现方式上取决于底层非局部求解器。
• 混合方法（如Arlequin法与混合法）实现精确的线性patch test一致性，通常为侵入式，需修改弱形式。
• 重叠法与分区法通常为非侵入式，通过加权平均或区域分解保持一致性。
• 公式选择（能量型 vs. 力型）显著影响方法适用性：能量型方法适用于需能量守恒的静态问题，而力型方法在动态应用中更具通用性。