[论文解读] A review of the large N limit of tensor models

Razvan Gurău|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2012

Black Holes and Theoretical Physics被引用 4

一句话总结

本文回顾了随机张量模型中建立 $1/N$ 展开的最新突破，将矩阵模型框架推广至高维。研究表明，彩色张量模型支持以度数为索引的 $1/N$ 展开，其中单圈图在主导阶次下占优，并对球面进行三角剖分，从而实现对随机高维几何的受控理论，且在相变后进入连续随机空间的相。

ABSTRACT

Random matrix models encode a theory of random two dimensional surfaces with applications to string theory, conformal field theory, statistical physics in random geometry and quantum gravity in two dimensions. The key to their success lies in the 1/N expansion introduced by 't Hooft. Random tensor models generalize random matrices to theories of random higher dimensional spaces. For a long time, no viable 1/N expansion for tensors was known and their success was limited. A series of recent results has changed this situation and the extension of the 1/N expansion to tensors has been achieved. We review these results in this paper.

研究动机与目标

• 为解决随机张量模型中缺乏可行的 $1/N$ 展开这一问题，此前该问题阻碍了对高维随机几何的解析控制。
• 建立彩色张量模型支持以度数为索引的 $1/N$ 展开，将矩阵模型的 $1/N$ 展开推广至高维。
• 证明单圈图——在任意维度下对球面进行三角剖分——在大 $N$ 极限下占主导地位，并构成一个可求和的族。
• 证明这些模型会经历相变，进入连续的、无限精细的随机空间理论，类似于二维矩阵模型中的连续极限。
• 通过识别 $1/N$ 展开背后的代数结构，将该框架与量子引力和共形场论联系起来。

提出的方法

• 本文分析了在 $\otimes_{i=1}^D U(N)$ 作用下随机复张量的不变概率测度，利用通过相同颜色指标收缩构造的迹不变量。
• 采用 $D$-色图来表示迹不变量，其中每种颜色标记一个张量指标，边表示指标的收缩。
• 通过彩色张量模型框架推导出 $1/N$ 展开，其中主导阶由对应于对偶表示中树结构的单圈图决定。
• 引入图的度数作为索引 $1/N$ 展开的关键拓扑不变量，推广了矩阵模型中的亏格概念。
• 在 $D$-色图上使用李代数结构，包括膨胀算子，以与任意维度的共形场论建立联系。
• 识别出需将李代数与维拉索罗代数的负部分完成，才能在高维中完全实现共形对称性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将 $1/N$ 展开从随机矩阵推广至任意维度的随机张量模型？
• RQ2 在张量模型中，推广矩阵模型亏格概念的拓扑不变量是什么？
• RQ3 张量模型中的单圈图是否在大 $N$ 极限下占主导地位，并在任意维度下对球面进行三角剖分？
• RQ4 $1/N$ 展开在张量模型中是否导致向连续、无限精细的随机几何的相变？
• RQ5 如何将 $1/N$ 展开的代数结构与高维共形场论联系起来？

主要发现

• 彩色张量模型支持以图的度数为索引的 $1/N$ 展开，推广了矩阵模型的亏格展开。
• 单圈图在大 $N$ 极限下占主导地位，并在任意维度 $D$ 下对 $D$-维球面进行三角剖分，构成一个可求和的族。
• 主导阶图与对偶表示中的树一一对应，确保了展开的收敛性。
• 这些模型经历相变，进入连续的、无限精细的随机几何理论，类似于矩阵模型中的连续极限。
• $1/N$ 展开框架可通过张量群场论中的重整化群流实现动力学实现，在至少两种简单情况下表现出渐近自由性。
• $D$-色图的李代数包含膨胀算子，且需与维拉索罗代数的负部分完成，才能与任意维度的共形场论建立联系。