[论文解读] A review on contact Hamiltonian and Lagrangian systems

Manuel de León, Manuel Laínz|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2020

Control and Stability of Dynamical Systems被引用 11

一句话总结

本文全面回顾了接触哈密顿系统与拉格朗日系统，通过接触结构与雅可比结构统一其几何表述。该研究将经典结果——如诺特定理、哈密顿-雅可比理论及约化程序——推广至耗散系统，提出了新型框架，例如用于奇异系统的狄拉克-雅可比括号，以及用于约束耗散动力学的非完整括号。

ABSTRACT

Contact Hamiltonian dynamics is a subject that has still a short history, but with relevant applications in many areas: thermodynamics, cosmology, control theory, and neurogeometry, among others. In recent years there has been a great effort to study this type of dynamics both in theoretical aspects and in its potential applications in geometric mechanics and mathematical physics. This paper is intended to be a review of some of the results that the authors and their collaborators have recently obtained on the subject.

研究动机与目标

• 系统化接触哈密顿与拉格朗日力学的几何与变分基础，适用于耗散系统。
• 将经典几何力学概念——如辛约化、动量映射及诺特定理——推广至接触与雅可比结构。
• 为奇异与非完整接触系统建立一致的框架，包括约束算法与狄拉克-雅可比括号。
• 将哈密顿-雅可比理论与共变因子约化推广至接触与雅可比设定。
• 通过接触几何统一描述热力学、控制理论与神经几何中的耗散系统。

提出的方法

• 利用赫尔格洛茨变分原理，通过涉及作用量微分方程的广义作用量原理推导接触拉格朗日方程。
• 应用勒让德变换将接触拉格朗日系统与哈密顿系统关联，假设拉格朗日函数正则。
• 在扩展流形（T*Q × R 与 TQ × R）上应用接触结构与共辛结构，以建模耗散动力学。
• 通过接触形式与哈密顿函数微分定义的同构关系，引入接触哈密顿向量场。
• 在雅可比流形框架下应用共变因子约化与动量映射技术，对具有对称性的接触系统进行约化。
• 为奇异拉格朗日函数开发约束算法，最终在约束子流形上导出狄拉克-雅可比括号。

实验结果

研究问题

• RQ1 赫尔格洛茨原理如何用于推导接触拉格朗日系统的自洽运动方程？
• RQ2 接触哈密顿动力学背后的几何结构是什么？它如何推广辛力学？
• RQ3 诺特定理如何推广至接触系统，以识别耗散量而非守恒量？
• RQ4 哈密顿-雅可比理论能否推广至接触与雅可比流形，以求解耗散系统？
• RQ5 子流形与共变因子约化在接触与雅可比几何中，对约束与对称耗散系统起何作用？

主要发现

• 赫尔格洛茨原理为接触拉格朗日系统提供了变分基础，导出的运动方程显式包含耗散项。
• 接触哈密顿系统由通过接触形式与哈密顿函数微分定义的修正同构关系所确定的向量场控制。
• 接触力学中的诺特定理导出与对称性相关的耗散量，推广了辛力学中的守恒量。
• 接触几何中的共变因子约化定理允许对具有对称性的耗散系统进行约化，同时保持接触结构。
• 对于奇异拉格朗日函数，约束算法导出一个最终约束子流形，其上配备狄拉克-雅可比括号，推广了狄拉克括号。
• 为接触非完整系统构造了一个非完整括号，其为近似雅可比结构，可描述耗散非完整动力学。