[论文解读] A review on instanton counting and W-algebras

Yuji Tachikawa|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2014

Black Holes and Theoretical Physics被引用 5

一句话总结

本文回顾了 $υ(2)$ 超对称 gauge 理论中的瞬子计数与 W 代数之间的联系，展示了通过在瞬子模空间上使用等变局部化计算的 Nekrasov 分区函数如何实现二维共形场论结构。主要贡献在于建立了瞬子分区函数与 W 代数相关函数之间的精确对应关系，特别是通过 AGT 对应关系，推导出 $υ(N)$ gauge 群的显式公式，并推广至其他空间和 gauge 群。

ABSTRACT

This is the third article in the collection of reviews "Exact results on N=2 supersymmetric gauge theories", ed. J. Teschner. It is explained how to compute the instanton partition functions. The results can be written as sums over bases for the equivariant cohomology of instanton moduli spaces. The known results relating the symmetries of these spaces to the symmetries of conformal field theory are reviewed.

研究动机与目标

• 系统回顾在 $τ^4$ 上使用等变局部化和 Nekrasov 分区函数的 $υ(N)$ gauge 理论中瞬子计数的框架。
• 阐明四维 $υ=2$ 超对称 gauge 理论中如何涌现出二维 W 代数结构。
• 将瞬子分区函数与 W 代数相关函数之间的对应关系从 $υ(2)$ 推广至经典与例外 gauge 群。
• 探讨表面算符、群 orbifolds 和非紧致 toric 空间在扩展瞬子计数框架中的作用。
• 通过递推公式和拓扑弦对偶性建立对 AGT 对应关系的统一理解。

提出的方法

• 利用等变局部化，将 Nekrasov 瞬子分区函数计算为瞬子模空间上不动点的和。
• 将分区函数表示为瞬子数的和，其权重为模空间上欧拉类的等变积分。
• 应用 AGT 对应关系，将 gauge 理论分区函数映射为二维 W 代数的相关函数，其中 $υ(N)$ gauge 群与 $\mathcal{W}_N$ 代数相关联。
• 利用在 $ς^2$ 及其解析上的爆破公式导出的递推关系，按 $q$ 的幂次逐阶计算分区函数。
• 将构造推广至其他空间，包括群 orbifolds $ς^2/\mathbb{Z}_p$ 和非紧致 toric Calabi-Yau 三复形。
• 将精化拓扑弦分区函数（通过精化拓扑顶点）与具有 $υ_1 \neq \u03c5_2$ 的 Nekrasov 分区函数联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $τ^4$ 上的 $υ(N)$ gauge 理论中，瞬子分区函数如何实现二维共形场论结构？
• RQ2 Nekrasov 分区函数与 W 代数相关函数之间精确的数学与物理对应关系是什么？
• RQ3 瞬子计数框架如何从 $υ(2)$ 推广至其他经典与例外 gauge 群？
• RQ4 表面算符与 orbifolds 在修改瞬子模空间与分区函数中起什么作用？
• RQ5 从爆破几何与拓扑弦对偶性导出的递推公式如何重现 Seiberg-Witten 前势能？

主要发现

• 在 $τ^4$ 上的 $υ(N)$ gauge 理论中，Nekrasov 分区函数与 $\mathcal{W}_N$ 代数的相关函数相匹配，确立了 AGT 对应关系。
• 在 $ς^2$ 上的瞬子分区函数的递推公式由爆破方程导出，零瞬子贡献为一个点，从而实现迭代计算。
• 对于具有 fundamental 超多重态的 $υ(N)$ gauge 理论，分区函数被显式计算，并在 $υ_1,\u03c5_2 \to 0$ 极限下与 Seiberg-Witten 前势能一致。
• 在 Calabi-Yau 三复形上的精化拓扑弦分区函数与具有 $υ_1 + \u03c5_2 \neq 0$ 的 Nekrasov 分区函数匹配，证实了精化拓扑顶点构造。
• 该方法可推广至例外 gauge 群如 $E_6$ 和 $E_7$，其结果与通过模空间技术的独立计算一致。
• 瞬子计数与 W 代数之间的对应关系被推广至非紧致 toric 空间与 orbifolds，模空间结构的差异得以受控。