[论文解读] A Review on Realization Theory for Infinite-Dimensional Systems
本文通过证明在右半平面内任意解析且有界的函数 $ G(s) $ 均可通过无界算子 $ A $、$ B $ 和 $ C $ 实现为状态空间表示，从而建立了无限维系统的一个全面实现理论，其中 $ A $ 生成一个强连续半群，$ B $ 和 $ C $ 分别为可接受的控制与观测算子。其核心贡献在于构建了一个统一框架，将传递函数与适定线性系统联系起来，通过显式的算子理论构造，解决了无限维系统理论中长期存在的基础性理论问题。
We give an introduction to the realisation theory for infinite-dimensional systems. That is, we show that for any function $G$, analytic and bounded in the right half of the complex plane, there exists operators $A,B,C$ such that $G(s_1)-G(s_2) = (s_2-s_1) C(s_1 I-A)^{-1}(s_2 I-A)^{-1}B$. Here $A$ is the infinitesimal generator of a strongly continuous semigroup on a Hilbert space, and $B$ and $C$ are admissible input and output operators, respectively. Our results summarise and clarify the results as found in the literature, starting more than 40 years ago.
研究动机与目标
- 统一并澄清数十年来关于无限维系统实现理论的研究。
- 建立右半平面内解析有界传递函数的状态空间实现的存在性。
- 利用半群理论与可接受算子，形式化传递函数与适定线性系统之间的联系。
- 解决无限维系统中可控性、可观测性及实现等价性等基础性问题。
- 为无限维系统理论研究者提供一份自包含且易于理解的参考文献。
提出的方法
- 利用适定线性系统的理论，特别是 Salamon 和 Weiss 的框架，来定义可接受的控制与观测算子。
- 构造一个带有加权 $ L^2 $-范数的希尔伯特空间 $ V $，并在 $ V $ 上定义一个半群 $ T(t) $。
- 将状态空间扩展至更大的希尔伯特空间 $ V_1 $，以确保控制与观测算子的可接受性。
- 定义控制算子 $ B_1 = G $ 和观测算子 $ C_1x = \hat{x}(0) $，并通过范数估计证明其可接受性。
- 应用拉普拉斯变换与 Paley-Wiener 定理，将 $ L^2 $-函数与右半平面内的 $ H^2 $-空间联系起来。
- 利用预解式恒等式与算子延拓技术，验证传递函数恒等式 $ G(s) - G(z) = (z - s)C(sI - A)^{-1}(zI - A)^{-1}B $。
实验结果
研究问题
- RQ1每个在右半平面内解析且有界的函数是否都能作为无限维适定线性系统的传递函数实现？
- RQ2在何种条件下可确保此类系统中控制与观测算子的可接受性？
- RQ3近似可控性与可观测性等性质如何与实现的结构相关联？
- RQ4为何某些实现即使都具有近似可控性与可观测性，也未必等价？
- RQ5在构造这些实现时，$ H^2 $-空间与 Paley-Wiener 定理起到什么作用？
主要发现
- 任何在右半平面内解析且有界的函数 $ G(s) $ 均可实现为希尔伯特空间上强连续半群的无穷小生成元 $ A $ 的状态空间表示。
- 该实现满足基本恒等式 $ G(s) - G(z) = (z - s)C(sI - A)^{-1}(zI - A)^{-1}B $，将传递函数与预解式算子联系起来。
- 可接受的控制算子 $ B $ 与观测算子 $ C $ 存在，确保系统在 Salamon 和 Weiss 意义下是适定的。
- 可构造一个近似可控且近似可观测的实现，但不一定是精确可观测的。
- 该实现与有限维实现不等价，若观测算子为紧算子，则有限时间内的精确可观测性不成立。
- 该构造表明，即使都具有近似可控性与可观测性，某些实现也未必等价，凸显了无限维系统中结构上的本质差异。
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