[论文解读] A revised pre-order principle and set-valued Ekeland variational principle

Jinghui Qiu|arXiv (Cornell University)|May 7, 2014

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文提出了一种修正的预序原理，将原始框架扩展至处理涉及弱 τ-函数的集值Ekeland变分原理（EVPs）——此前原始原理无法实现此目标。该修正原理推广了所有已知的以集合包含形式表示的集值EVPs，包括Khanh与Quy的含弱τ-函数的EVP，通过修改标量化条件，以适应扰动函数在不同点处可能为零的情形。

ABSTRACT

In my former paper "A pre-order principle and set-valued Ekeland variational principle" (see: arXiv: 1311.4951[math.FA]), we established a general pre-order principle. From the pre-order principle, we deduced most of the known set-valued Ekeland variational principles (denoted by EVPs) and their improvements. But the pre-order principle could not imply Khanh and Quy's EVP in [On generalized Ekeland's variational principle and equivalent formulations for set-valued mappings, J. Glob. Optim., 49 (2011), 381-396], where the perturbation contains a weak $τ$-function. In this paper, we give a revised version of the pre-order principle. This revised version not only implies the original pre-order principle, but also can be applied to obtain the above Khanh and Quy's EVP. Thus, the revised pre-order principle implies all the known set-valued EVPs in set containing forms (to my knowledge).

研究动机与目标

• 为解决原始预序原理在处理涉及弱τ-函数的集值EVPs时的局限性，即当x≠x′时p(x,x′)可能为零。
• 提出一种修正的预序原理，使其在保持原始原理的基础上，扩展其适用范围，以涵盖Khanh与Quy的含弱τ-函数的EVP。
• 在单一、连贯的理论框架下，统一并推广所有已知的以集合包含形式表示的集值EVPs。

提出的方法

• 引入一种修正的预序原理，其条件(B)与(C)经修改，以处理扰动函数在不同点处可能为零的情形。
• 用更强的条件替代原始的标量化条件，即对任意不同的z₁, z₂ ∈ S(x)，要求η(x) > min{η(z₁), η(z₂)}，以确保在单调性下保持点的差异性。
• 将修正后的原理应用于推导一致空间与局部凸空间中关于r-距离、p-距离和q-距离的集值EVPs。
• 利用关于q-距离的序列完备性与S(x)-动力完备性，确保证明框架中序列的收敛性。
• 引入一族半范数{pα}及其关联的线性泛函ξα，以在局部凸空间中实现标量化。
• 通过有界性与完备性假设，建立级数∑p(zi,zi+1)pα(hi)与∑p(zi,zi+1)的收敛性，从而保证极限点u的存在。

实验结果

研究问题

• RQ1 原始预序原理能否被扩展以包含涉及弱τ-函数的集值EVPs，其中扰动函数在不同点处可能为零？
• RQ2 修正后的预序原理是否涵盖了所有已知的以集合包含形式表示的集值EVPs，包括r-、p-和q-距离的情形？
• RQ3 在存在弱τ-函数的情况下，预序集与扰动函数需满足何种条件，才能保证最小点的存在性？
• RQ4 标量化技术如何调整以在非定性扰动存在时仍能保持点的差异性？
• RQ5 修正后的原理能否通过使用半范数与线性泛函在局部凸空间中应用，以推导出向量值扰动的EVP？

主要发现

• 修正后的预序原理成功推导出Khanh与Quy的含弱τ-函数的集值EVP，而原始原理无法处理该情形。
• 该修正原理推广了所有已知的以集合包含形式表示的集值EVPs，包括Ha、Qiu、Bednarczuk与Zagrodny、Gutiérrez等人、Tammer与Z̆álinescu、Flores-Bazán等人、Liu与Ng、以及Bao与Mordukhovich的研究成果。
• 条件(B)确保S(x)中任意两个不同点不可能具有相同的最小η值，从而在标量化过程中保持点的差异性。
• 对于p-距离，证明依赖于∑p(zi,zi+1)pα(hi)与∑p(zi,zi+1)的收敛性，该收敛性由空间Y的有界性与l∞-完备性保证。
• 对于q-距离，S(x₀)-动力完备性假设确保了极限点u的存在，使得p(xₙ,u)→0，从而支持EVP的推导。
• 通过一族半范数{pα}及其关联的线性泛函ξα，该框架被扩展至局部凸空间，使得在向量值设定下能够实现标量化。