[论文解读] A Reynolds-robust preconditioner for the Reynolds-robust Scott-Vogelius discretization of the stationary incompressible Navier-Stokes equations

Patrick E. Farrell, Lawrence Mitchell+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2020

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 40被引用 8

一句话总结

本文针对在重心剖分网格上进行的不可压Navier-Stokes方程的Scott-Vogelius有限元离散化，提出了一种增广Lagrangian预条件子。通过利用网格结构对梯度-散度项的核进行分解，该方法在2D和3D数值实验中均实现了雷诺数无关的迭代求解器性能与雷诺数无关的误差估计，表现出良好的鲁棒性。

ABSTRACT

Augmented Lagrangian preconditioners have successfully yielded Reynolds-robust preconditioners for the stationary incompressible Navier-Stokes equations, but only for specific discretizations. The discretizations for which these preconditioners have been designed possess error estimates which depend on the Reynolds number, with the discretization error deteriorating as the Reynolds number is increased. In this paper we present an augmented Lagrangian preconditioner for the Scott-Vogelius discretization on barycentrically-refined meshes. This achieves both Reynolds-robust performance and Reynolds-robust error estimates. A key consideration is the design of a suitable space decomposition that captures the kernel of the grad-div term added to control the Schur complement; the same barycentric refinement that guarantees inf-sup stability also provides a local decomposition of the kernel of the divergence. The robustness of the scheme is confirmed by numerical experiments in two and three dimensions.

研究动机与目标

• 为解决Scott-Vogelius离散化在缺乏雷诺数无关预条件子时，高雷诺数下误差估计性能下降的问题。
• 开发一种收敛速率与雷诺数无关的预条件子。
• 确保随着雷诺数增加，离散化误差仍保持稳定且可控。
• 利用重心剖分实现对梯度-散度项核的局部空间分解。
• 在高雷诺数条件下，同时实现数值鲁棒性与最优误差估计。

提出的方法

• 采用增广Lagrangian框架，以稳定由弱形式产生的鞍点系统中的Schur补。
• 基于重心剖分构造一种专用空间分解，以捕捉梯度-散度项的核。
• 该剖分确保了inf-sup稳定性，并支持对无散度核的局部分解。
• 预条件子的设计旨在保持迭代求解性能与误差估计的鲁棒性。
• 该方法依赖于重心剖分网格的几何结构，以实现对核的有效近似。
• 在二维与三维空间中开展数值实验，以验证理论结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为Scott-Vogelius离散化设计一种增广Lagrangian预条件子，以确保雷诺数无关的收敛性？
• RQ2 重心剖分的使用是否能实现对梯度-散度项核的稳定且鲁棒的空间分解？
• RQ3 所得到的方法能否同时实现雷诺数无关的迭代性能与雷诺数无关的误差估计？
• RQ4 该预条件子在2D与3D高雷诺数流动中的表现如何？
• RQ5 重心剖分的哪些结构性质使得实现鲁棒性所必需的核分解成为可能？

主要发现

• 所提出的预条件子在无论雷诺数高低的情况下，均能实现对线性系统迭代求解的雷诺数无关收敛性。
• 由于具备鲁棒的误差估计，离散化误差保持有界，且不会随雷诺数增加而恶化。
• 重心剖分使得能够实现有效的局部空间分解，从而准确捕捉梯度-散度项的核。
• 数值实验表明，该方法在二维与三维空间中均保持了鲁棒的性能。
• 增广Lagrangian稳定化与基于网格的核分解相结合，确保了稳定性与准确性。
• 该方法成功克服了以往方法在高雷诺数下非鲁棒或缺乏误差控制的局限性。