[论文解读] A Ring Isomorphism and corresponding Pseudoinverses

Samuel N. Cohen, Robert J. Elliott+1 more|ArXiv.org|Oct 1, 2008

Matrix Theory and Algorithms参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文通过矩阵 $J_n$ 将低维空间嵌入，建立了所有行和列之和为零的 $n\times n$ 矩阵集合与完整的 $(n-1) imes(n-1)$ 矩阵集合之间的环同构。该同构保持 Moore-Penrose 广义逆结构，将其映射到低维空间中的标准逆，从而实现此类矩阵广义逆的显式计算，并对这类矩阵中秩亏情形的投影算子 $X^+X$ 进行表征。

ABSTRACT

This paper studies the set of $n imes n$ matrices for which all row and column sums equal zero. By representing these matrices in a lower dimensional space, it is shown that this set is closed under addition and multiplication, and furthermore is isomorphic to the set of arbitrary $(n-1) imes (n-1)$ matrices. The Moore-Penrose pseudoinverse corresponds with the true inverse, (when it exists), in this lower dimension and an explicit representation of this pseudoinverse in terms of the lower dimensional space is given. This analysis is then extended to non-square matrices with all row or all column sums equal to zero.

研究动机与目标

• 分析所有行和列之和为零的 $n\times n$ 矩阵的代数结构。
• 解决此类矩阵因存在全1向量作为零特征向量而奇异（不可逆）的问题。
• 为这类奇异矩阵开发系统化的 Moore-Penrose 广义逆计算方法。
• 表征此类矩阵中投影算子 $X^+X$ 的像，特别是秩亏情形。
• 将该框架扩展至非方阵及含零行/列的矩阵，同时保持同构关系与广义逆对应性。

提出的方法

• 通过 $\phi(X) = J_n^* X J_n$ 定义映射 $\phi: M_n \to S_{n+1}$，其中 $J_n = [I_n \mid -\mathbf{1}]$，将 $n\times n$ 矩阵映射到 $(n+1)\times(n+1)$ 矩阵，且其行和列之和为零。
• 引入扭曲乘积 $X \circ Y = X K_n Y$，其中 $K_n = J_n J_n^*$，在 $M_n$ 上定义一个环结构，该结构与 $S_{n+1}$ 上的标准矩阵运算构成环同构。
• 证明 $\phi$ 是环同构，保持加法与乘法运算；且 $\phi$ 将 $M_n$ 中关于 $\circ$ 的 Moore-Penrose 广义逆映射为 $S_{n+1}$ 中关于标准乘法的 Moore-Penrose 广义逆。
• 通过引入在指定位置 $\mathbf{a}$ 插入零列的改进型 $J_{m,\mathbf{a}}$ 矩阵，将同构关系扩展至含零行/列的矩阵，保持同构性与 $K_m = J_{m,\mathbf{a}} J_{m,\mathbf{a}}^*$ 的形式。
• 当 $X$ 可逆时，推导出 $\tilde{X} = J_{m,\mathbf{b}}^* X J_{m,\mathbf{a}}$ 的 Moore-Penrose 逆的显式公式：$\tilde{X}^+ = J_{m,\mathbf{a}}^* K_m^{-1} X^{-1} K_m^{-1} J_{m,\mathbf{b}}$。
• 表征 $\tilde{X}^+ \tilde{X}$ 的像为所有形如 $\tilde{M} = J_{m,\mathbf{a}}^* M$ 的矩阵，其列和为零且在 $\mathbf{a}$ 索引的位置为零，且满足 $\tilde{X}^+ \tilde{X} \tilde{M} = \tilde{M}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有行和列之和为零的 $n\times n$ 矩阵集合能否赋予一个与低维矩阵环同构的环结构？
• RQ2 此类奇异矩阵的 Moore-Penrose 广义逆如何与同构低维环中的标准逆相关联？
• RQ3 在 $S_{n+1}$ 中含零行/列的矩阵，其 Moore-Penrose 广义逆的显式形式为何？
• RQ4 如何表征这些矩阵的投影算子 $X^+X$ 的像？
• RQ5 该同构关系与广义逆对应性能否扩展至含零行或列的非方阵？

主要发现

• 所有行和列之和为零的 $n\times n$ 矩阵集合 $S_{n+1}$，在扭曲乘积 $X \circ Y = X K_n Y$（其中 $K_n = J_n J_n^*$）下，与完整矩阵代数 $M_n$ 构成环同构。
• 同构映射 $\phi(X) = J_n^* X J_n$ 将 $M_n$ 中关于 $\circ$ 的 Moore-Penrose 广义逆映射为 $S_{n+1}$ 中关于标准乘法的 Moore-Penrose 广义逆。
• 对于秩为 $m$ 的矩阵 $\tilde{X} = J_{m,\mathbf{b}}^* X J_{m,\mathbf{a}}$，当 $X$ 可逆时，其 Moore-Penrose 逆显式给出为 $\tilde{X}^+ = J_{m,\mathbf{a}}^* K_m^{-1} X^{-1} K_m^{-1} J_{m,\mathbf{b}}$。
• 投影算子 $\tilde{X}^+ \tilde{X}$ 在满足列和为零且在 $\mathbf{a}$ 索引行中为零的矩阵 $\tilde{M} = J_{m,\mathbf{a}}^* M$ 上作用为恒等算子，且满足 $\tilde{X}^+ \tilde{X} \tilde{M} = \tilde{M}$。
• $\tilde{X}^+ \tilde{X}$ 的像为 $m$-维子空间，由所有形如 $\tilde{M} = J_{m,\mathbf{a}}^* M$ 的矩阵构成，且 $\tilde{X}^+ \tilde{X} = J_{m,\mathbf{a}}^* K_m^{-1} J_{m,\mathbf{a}} = J_{m,\mathbf{a}}^* \left(I_m - \frac{1}{m+1} \mathbf{1}_{m\times m}\right) J_{m,\mathbf{a}}$。
• 通过在 $J_{m,\mathbf{a}}$ 和 $J_{m,\mathbf{b}}$ 矩阵中允许不同的零插入模式 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$，该同构关系与广义逆对应性可扩展至非方阵，同时保持结构与可逆性条件。