[论文解读] A robust conservative mixed finite element method for compressible flow on pipe networks

Herbert Egger|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文提出了一种用于模拟管道网络中可压缩流的鲁棒、保守混合有限元方法，采用变分公式强制全局质量与能量守恒。该方法在空间上采用一致的伽辽金离散化，并结合隐式时间推进格式，精确保持质量守恒并适度耗散能量，从而在各种网络拓扑结构与参数下确保问题的适定性与稳定性。

ABSTRACT

We consider the numerical approximation of compressible flow in a pipe network. Appropriate coupling conditions are formulated that allow us to derive a variational characterization of solutions and to prove global balance laws for the conservation of mass and energy on the whole network. This variational principle, which is the basis of our further investigations, is amenable to a conforming Galerkin approximation by mixed finite elements. The resulting semi-discrete problems are well-posed and automatically inherit the global conservation laws for mass and energy from the continuous level. We also consider the subsequent discretization in time by a problem adapted implicit time stepping scheme which leads to conservation of mass and a slight dissipation of energy of the full discretization. The well-posedness of the fully discrete scheme is established and a fixed-point iteration is proposed for the solution of the nonlinear systems arising in every single time step. Some computational results are presented for illustration of our theoretical findings and for demonstration of the robustness and accuracy of the new method.

研究动机与目标

• 开发一种在管道网络可压缩流中全局守恒质量与能量的数值方法。
• 推导节点处的耦合条件，以确保物理一致性及质量与能量的守恒。
• 建立一种自然编码守恒定律的变分原理，支持一致的伽辽金离散化。
• 为半离散与全离散格式建立适定性与守恒性质。
• 通过Riemann型流问题与稳态收敛性的数值实验，验证方法的鲁棒性与精度。

提出的方法

• 从可压缩流的控制方程出发，推导变分公式，包含质量与动量平衡，并引入压力律 $ p = c\rho^\gamma $。
• 在管道节点处制定耦合条件，以强制守恒质量通量与滞止焓，包含粘性效应。
• 应用混合有限元方法进行空间离散化，确保一致的伽辽金逼近，并在半离散层面实现精确的质量守恒。
• 采用隐式时间推进格式，精确保持质量守恒并引入受控的数值能量耗散。
• 通过定点迭代求解每时间步产生的非线性系统，确保鲁棒性与收敛性。
• 利用能量估计与稳定性分析，建立全离散格式的适定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否推导出一种变分公式，使其天然编码管道网络中可压缩流的全局质量与能量守恒？
• RQ2 如何在节点处制定耦合条件，以确保物理一致性及质量与能量的守恒？
• RQ3 应用于变分公式的协调混合有限元方法是否能在离散层面保持质量与能量守恒？
• RQ4 能否设计一种隐式时间离散化，以实现质量守恒并仅引入受控的能量耗散？
• RQ5 全离散格式在模型参数、网格加密与初始条件变化下的鲁棒性如何？

主要发现

• 所提方法在离散层面精确守恒质量，这对获得正确的稳态解至关重要。
• 隐式时间离散化引入了轻微的能量耗散，模拟了物理粘性耗散，确保了稳定性。
• 半离散与全离散格式均具有适定性，且在网格与时间步长细化下观察到收敛性。
• 数值实验表明，方法在不同初始条件下（包括不连续密度分布）表现出鲁棒行为，不连续性因数值阻尼迅速平滑。
• 即使在小粘性参数与复杂网络拓扑结构下，方法仍保持守恒性质与稳定性。
• 所有测试案例中定点迭代均可靠收敛，表明非线性求解器具有鲁棒性。