[论文解读] A robust monolithic solver for phase-field fracture integrated with fracture energy based arc-length method and under-relaxation

Ritukesh Bharali, Somdatta Goswami+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2021

Numerical methods in engineering参考文献 60被引用 67

一句话总结

本文提出了一种鲁棒的单体相场断裂求解器，结合基于断裂能的弧长法与自适应欠松弛法，能够精确捕捉屈曲行为并改善收敛性。该方法将等几何分析（IGA）与基于PHT样条的自适应网格加密相结合，实现高效、局部的裂纹扩展解析，且无需预先知晓裂纹路径。

ABSTRACT

The phase-field fracture free-energy functional is non-convex with respect to the displacement and the phase field. This results in a poor performance of the conventional monolithic solvers like the Newton-Raphson method. In order to circumvent this issue, researchers opt for the alternate minimization (staggered) solvers. Staggered solvers are robust for the phase-field based fracture simulations as the displacement and the phase-field sub-problems are convex in nature. Nevertheless, the staggered solver requires very large number of iterations (of the order of thousands) to converge. In this work, a robust monolithic solver is presented for the phase-field fracture problem. The solver adopts a fracture energy-based arc-length method and an adaptive under-relaxation scheme. The arc-length method enables the simulation to overcome critical points (snap-back, snap-through instabilities) during the loading of a specimen. The use of an under-relaxation scheme stabilizes the solver by preventing the divergence due to an ill-behaving stiffness matrix. The efficiency of the proposed solver is further amplified with an adaptive mesh refinement scheme based on PHT-splines within the framework of isogeometric analysis. The numerical examples presented in the manuscript demonstrates the efficacy of the solver. All the codes and data-sets accompanying this work will be made available on GitHub (https://github.com/rbharali/IGAFrac).

研究动机与目标

• 开发一种鲁棒的单体相场断裂求解器，以克服非凸能量泛函和病态刚度矩阵带来的收敛问题。
• 精确捕捉裂纹扩展过程中峰后屈曲行为，该行为常被显式求解器所忽略。
• 在等几何分析（IGA）框架内集成基于PHT样条的自适应网格加密，以高效解析高梯度区域。
• 通过基于断裂能的弧长约束与自适应欠松弛法，确保变分一致性和稳定性。
• 实现自然裂纹成核与扩展，无需预设裂纹路径，从而提升脆性断裂模拟的真实性。

提出的方法

• 采用单体求解格式，同时求解位移与相场变量的全系统。
• 提出基于断裂能的弧长法，以控制加载路径，并在屈曲事件中实现大位移步长。
• 应用自适应欠松弛法，通过抑制因病态雅可比行为引起的振荡来稳定收敛。
• 在等几何分析（IGA）框架内使用PHT样条，实现高效、局部的h型加密，以适应裂纹演化。
• 采用罚函数法通过变分不等式强制实现断裂不可逆性约束。
• 采用基于弧长约束的动态时间步长策略，实现自适应能量耗散与更高稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 结合弧长控制与欠松弛法的单体相场断裂求解器是否能有效捕捉峰后加载阶段的屈曲行为？
• RQ2 自适应欠松弛法与基于断裂能的弧长法相结合，相较于标准单体或显式求解器，在收敛性与鲁棒性方面有何提升？
• RQ3 基于PHT样条的自适应网格加密在相场断裂模拟中能在多大程度上提升计算效率与精度？
• RQ4 所提出的求解器是否能自然捕捉裂纹成核与扩展，而无需预设裂纹路径或重新划分网格？
• RQ5 退化函数选择（二次与三次）如何影响峰后阶段的载荷-位移响应与裂纹拓扑结构？

主要发现

• 所提出的单体求解器在单边notched拉伸（SENT）与剪切（SENS）试件中成功捕捉了屈曲行为，而交替最小化法或拟牛顿-拉夫森法无法实现此效果。
• 在SENT案例中，求解器的峰值载荷与峰前响应与其他方法相当，但其独特地捕捉到了峰后不连续性与负斜率区域。
• 采用s = 0.1的三次退化函数表现出线性峰前阶段，而二次函数及s = 1.0的三次函数则无此特征，表明对退化模型选择具有敏感性。
• 基于PHT样条的自适应网格加密所得载荷-位移曲线与均匀加密网格结果相当，验证了其精度与效率。
• 裂纹路径从成核开始自然演化，无需初始化；由于采用朗金准则而非基于谱分解的应变能，最终断裂拓扑结构与以往工作不同。
• 该求解器在所有测试案例中均表现出鲁棒收敛性，自适应时间步长与欠松弛法有效防止了高度非线性区域的发散。