[论文解读] A Robust Time-Delay Approach to Extremum Seeking via ISS Analysis of the Averaged System

Xuefei Yang, Emilia Fridman|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2023

Extremum Seeking Control Systems被引用 4

一句话总结

该论文通过将系统转化为中立型时滞模型，在连续和离散域中针对N维静态二次映射，提出了一种鲁棒的时滞方法用于极限寻优。与李雅普诺夫-克拉索夫斯基方法不同，采用常数变易公式进行分析，通过输入-状态稳定性（ISS）分析，建立了显式且更宽松的实用稳定性条件，相较于以往工作，允许更大的海森矩阵不确定性范围和更宽松的扰动周期约束。

ABSTRACT

For N-dimensional (ND) static quadratic map, we present a time-delay approach to gradient-based extremum seeking (ES) both, in the continuous and, for the first time, the discrete domains. As in the recently introduced (for 2D maps in the continuous domain), we transform the system to the time-delay one (neutral type system in the form of Hale in the continuous case). This system is O($\varepsilon$)-perturbation of the averaged linear ODE system, where $\varepsilon$ is a period of averaging. We further explicitly present the neutral system as the linear ODE, where O($\varepsilon$)-terms are considered as disturbances with distributed delays of the length of the small parameter $\varepsilon$. Regional input-to-state stability (ISS) analysis is provided by employing a variation of constants formula that greatly simplifies the previously used analysis via Lyapunov-Krasovskii (L-K) method, simplifies the conditions and improves the results. Examples from the literature illustrate the efficiency of the new approach, allowing essentially large uncertainty of the Hessian matrix with bounds on $\varepsilon$ that are not too small.

研究动机与目标

• 为具有任意N ≥ 1个变量的极限寻优（ES）系统，开发一种鲁棒且量化的稳定性分析框架。
• 克服李雅普诺夫-克拉索夫斯基（L-K）方法在海森矩阵不确定性下导致的保守性结果和复杂条件限制。
• 将时滞方法从1–2维系统推广至连续和离散域中的通用N维系统。
• 提供显式、简单的不等式条件以保证实用稳定性，从而允许更大的允许扰动周期和海森矩阵不确定性。

提出的方法

• 将基于梯度的极限寻优动力学转化为类 Hale 的中立型时滞系统，适用于连续情形。
• 将系统重新表述为带有长度为ε的分布时滞的O(ε)阶扰动线性常微分方程（ODE），其中ε为平均周期。
• 应用常数变易公式分析平均系统的输入-状态稳定性（ISS），替代复杂的L-K泛函方法。
• 推导出显式、简单的不等式以约束扰动周期ε并确保实用稳定性，避免L-K方法的保守性。
• 利用ISS框架量化系统对海森矩阵不确定性及初始条件误差的鲁棒性。
• 通过文献中的实例验证该方法，表明在大范围海森矩阵不确定性下仍具有更优的稳定性裕量。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将时滞方法推广至连续和离散域中的N维极限寻优系统？
• RQ2 如何在极限寻优系统的稳定性分析中，降低李雅普诺夫-克拉索夫斯基方法的复杂性与保守性？
• RQ3 在大范围海森矩阵不确定性下，何种显式、简单的条件可保证极限寻优系统的实用稳定性？
• RQ4 与现有基于L-K的方法相比，是否可允许更大的扰动周期ε同时保持稳定性？
• RQ5 常数变易公式在极限寻优中在可处理性与稳定性边界紧致性方面，相比以往方法改善程度如何？

主要发现

• 所提方法通过O(ε)阶分布时滞扰动的时滞模型，实现了对N维极限寻优系统的实用稳定性。
• 推导出显式稳定性条件，以简单不等式形式表达，避免了复杂L-K泛函构造，显著降低了保守性。
• 与以往基于L-K的方法相比，该方法允许海森矩阵不确定性的范围显著增大。
• 扰动周期ε的上界限制更宽松，从而在实际实现中支持更快收敛与更强鲁棒性。
• 常数变易公式简化了稳定性分析，相比以往方法，得到更紧致、更实用的稳定性裕量。
• 数值示例表明，即使ε不非常小，该方法仍能保持系统稳定，验证了其实际可行性。