[论文解读] A `Rosetta stone' for the population dynamics of spiking neuron networks

Gianni Valerio Vinci, Maurizio Mattia|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2021

Neural dynamics and brain function被引用 1

一句话总结

本文推导了描述脉冲神经元种群动力学的福克-普朗克方程谱展开中关键系数的解析表达式，将其与发放间隔密度的拉普拉斯变换联系起来。该方法可实现对电流-放电率增益、本征值、边界处本征函数及漏电积分-发放网络中耦合项的精确计算，为非平衡态动力学提供了完整的解析框架，无需使用积分表达式。

ABSTRACT

Populations of spiking neuron models have densities of their microscopic variables (e.g., single-cell membrane potentials) whose evolution fully capture the collective dynamics of biological networks,even outside equilibrium. Despite its general applicability, the Fokker-Planck equation governing such evolution is mainly studied within the borders of the linear response theory, although alternative spectral expansion approaches offer some advantages in the study of the out-of-equilibrium dynamics. This is mainly due to the difficulty in computing the state-dependent coefficients of the expanded system of differential equations. Here, we address this issue by deriving analytic expressions for such coefficients by pairing perturbative solutions of the Fokker-Planck approach with their counterparts from the spectral expansion. A tight relationship emerges between several of these coefficients and the Laplace transform of the inter-spike interval density (i.e., the distribution of first-passage times). ‘Coefficients’ like the current-to-rate gain function, the eigenvalues of the Fokker-Planck operator and its eigenfunctions at the boundaries are derived without resorting to integral expressions. For the leaky integrate-and-fire neurons, the coupling terms between stationary and nonstationary modes are also worked out paving the way to accurately characterize the critical points and the relaxation timescales in networks of interacting populations.

研究动机与目标

• 为解决在脉冲神经元种群福克-普朗克方程谱展开中计算状态依赖系数的挑战。
• 建立谱系数与首次通过时间（发放间隔）密度拉普拉斯变换之间的直接解析联系。
• 在不依赖积分表示的前提下，推导电流-放电率增益、本征值及边界本征函数的精确表达式。
• 计算漏电积分-发放网络中稳态与非稳态模态之间的耦合项，以准确刻画弛豫时间常数和临界点。

提出的方法

• 将福克-普朗克方程的摄动解与谱展开解相结合，推导出系数的解析表达式。
• 将关键系数（如电流-放电率增益和本征值）直接表示为发放间隔密度拉普拉斯变换的形式。
• 使用福克-普朗克算子 L = −∂v(F + µ) + ½σ²∂²v 描述膜电位密度 p(v,t) 的时间演化。
• 应用连续性方程 ∂tp = −∂vSp 推导基于通量的放电率 ν(t) = −½σ²∂vp|v=vthr，其中 vthr 为吸收边界。
• 通过在非稳态条件下求解福克-普朗克算子的本征值问题，推导边界本征函数及模态之间的耦合项。
• 利用扩散极限和平均场近似，将突触输入建模为具有时变均值 µ(t) 和方差 σ²(t) 的高斯白噪声。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为脉冲神经元种群的福克-普朗克方程谱展开中的状态依赖系数提供解析计算方法？
• RQ2 谱系数与发放间隔密度拉普拉斯变换之间的确切数学关系是什么？
• RQ3 能否在不使用积分表达式的情况下推导出电流-放电率增益函数、本征值及边界本征函数？
• RQ4 漏电积分-发放网络中稳态与非稳态模态之间的耦合项是什么？它们如何影响弛豫动力学？
• RQ5 如何利用这些解析系数准确刻画相互作用脉冲神经元种群中的临界点和弛豫时间常数？

主要发现

• 电流-放电率增益函数以发放间隔密度的拉普拉斯变换形式精确表达，无需进行积分计算。
• 利用首次通过时间密度的拉普拉斯变换，以闭式表达式推导出福克-普朗克算子的本征值及其在阈值边界处的对应本征函数。
• 在漏电积分-发放网络中，稳态与非稳态模态之间的耦合项被显式计算，从而可精确建模瞬态动力学。
• 该方法为所有关键谱系数提供了精确的解析表达式，无需依赖数值积分或近似方法。
• 该框架可完整刻画脉冲神经元种群的非平衡态动力学，包括弛豫时间常数和临界点。
• 推导出的关系构成了一种“罗塞塔石碑”，将谱理论、首次通过时间统计与脉冲网络的种群水平放电率动力学联系起来。