[论文解读] A Sanov-type theorem for empirical measures associated with the surface and cone measures on $\ell^{p}$ spheres

Steven Soojin Kim, Kavita Ramanan|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2015

Point processes and geometric inequalities被引用 1

一句话总结

本文在高维几何背景下，为高维 $β^p$ 球面上的表面测度和锥测度所关联的经验测度建立了类 Sanov 定理，证明了一个大偏差原理，该原理刻画了 $β^p$ 球随机投影的尾部行为。主要贡献在于高维几何设定下罕见事件的极限定理，将渐近凸几何与概率大偏差理论联系起来。

ABSTRACT

The study of high-dimensional distributions is of interest in probability theory, statistics and asymptotic convex geometry, where the object of interest is the uniform distribution on a convex set in high dimensions. The $\ell^p$ spaces and norms are of particular interest in this setting. In this paper, we establish a limit theorem for distributions on $\ell^p$ spheres, conditioned on a rare event, in a high-dimensional geometric setting. As part of our proof, we establish a certain large deviation principle that is also relevant to the study of the tail behavior of random projections of $\ell^p$ balls in a high-dimensional Euclidean space.

研究动机与目标

• 研究在高维下，$β^p$ 球面上经验测度在罕见事件下的渐近行为。
• 为 $β^p$ 球面上的表面测度和锥测度建立大偏差原理。
• 分析高维欧氏空间中 $β^p$ 球随机投影的尾部行为。
• 将渐近凸几何中的结果与概率大偏差理论相联系。

提出的方法

• 利用渐近几何分析工具，推导 $β^p$ 球面上经验测度的大偏差原理。
• 在高维空间中，对 $β^p$ 球面上的表面测度和锥测度应用类 Sanov 的论证方法。
• 利用 $β^p$ 球的几何性质，刻画随机投影的行为。
• 采用变分技术分析大偏差原理中的速率函数。
• 利用高维下 $β^p$ 范数的对称性与集中性质。
• 建立投影尾部行为与表面测度和锥测度经验测度之间的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在高维下，$β^p$ 球面上的经验测度在罕见事件下如何表现？
• RQ2 何种大偏差原理控制着 $β^p$ 球面上的表面测度和锥测度？
• RQ3 随机投影的 $β^p$ 球尾部行为如何与表面测度和锥测度的经验测度相关联？
• RQ4 $β^p$ 几何在塑造经验测度渐近分布中起什么作用？
• RQ5 类 Sanov 定理能否推广到具有表面测度和锥测度的 $β^p$ 球设定中？

主要发现

• 为高维下 $β^p$ 球面上的表面测度和锥测度所关联的经验测度建立了大偏差原理。
• 大偏差原理中的速率函数由包含熵和能量泛函的变分公式刻画。
• 该定理精确描述了在高维 $β^p$ 几何中罕见事件下经验测度的渐近行为。
• 研究结果揭示了 $β^p$ 球随机投影的尾部行为与表面测度和锥测度几何之间的联系。
• 类 Sanov 定理已扩展至 $β^p$ 球，将经典大偏差结果推广至非高斯、非对称设定。
• 分析结果证实，$β^p$ 球面上经验测度的渐近行为由范数结构与几何集中性的相互作用所决定。