[论文解读] A Schubert basis in equivariant elliptic cohomology

Cristian Lenart, Kirill Zainoulline|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2015

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 23被引用 8

一句话总结

本文通过利用相应 Hecke 代数的 Kazhdan-Lusztig 基，构造了在等变椭圆上同调中独立于约化字词的 Schubert 基，称为 KL-Schubert 类。该文提出关于非负性及在光滑情形下与拓扑 Schubert 类一致的猜想，并在类型 $A_{n-1}$ 和 $C_n$ 中证明了这些猜想的特例。该构造为奇异椭圆（双曲）上同调设定下的 Schubert 计算提供了组合自然的框架。

ABSTRACT

We address the problem of defining Schubert classes independently of a reduced word in equivariant elliptic cohomology, based on the Kazhdan-Lusztig basis of a corresponding Hecke algebra. We study some basic properties of these classes, and make two important conjectures about them: a positivity conjecture, and the agreement with the topologically defined Schubert classes in the smooth case. We prove some special cases of these conjectures.

研究动机与目标

• 在等变椭圆上同调中定义 Schubert 类，且独立于约化字词，从而克服拓扑构造中对 Bott-Samelson 解奇异化的依赖。
• 将组合 Schubert 计算从上同调和 K-理论推广到更复杂的奇异椭圆上同调设定。
• 利用 Hecke 代数的 Kazhdan-Lusztig 基在此背景下建立定义规范 Schubert 类的框架。
• 猜想这些类在等变设定下满足非负性，并在光滑情形下与拓扑定义的类一致。
• 在类型 $A_{n-1}$ 和 $C_n$ 中证明这些猜想的特例，为一般理论提供基础性证据。

提出的方法

• 通过 Hecke 代数的 Kazhdan-Lusztig 基在等变椭圆上同调中构造 KL-Schubert 类，确保其不依赖于约化字词的选择。
• 应用旗流形的 GKM 模型以促进计算，并在光滑情形下建立拓扑定义 Schubert 类的公式。
• 利用形式群律以及对应于奇异椭圆上同调的双曲形式群律来定义上同调理论。
• 通过秩 $n$ 的归纳法证明主要定理，特别针对类型 $A_{n-1}$ 和 $C_n$ 中的最长元素 $w_{ullet}^n$，使用涉及 $t$-变形算子的递归公式。
• 应用 Proctor 关于带符号置换上 Bruhat 序的判定准则，以验证 Schubert 代数的光滑性并比较 Schubert 类。
• 依赖形式群代数 $S = R[[y_ u]]/(y_0, y_{ u+ u'} - F(y_ u, y_{ u'}))$ 的结构来建模等变上同调。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在等变椭圆上同调中定义独立于约化字词的 Schubert 类，从而避免对 Bott-Samelson 解奇异化的依赖？
• RQ2 在此设定下，Kazhdan-Lusztig Schubert 类是否满足如 [LZ, 猜想 6.4] 所述的等变设定下的非负性？
• RQ3 KL-Schubert 类是否在光滑情形下与拓扑定义的 Schubert 类一致？
• RQ4 该构造能否推广至 $A_{n-1}$ 和 $C_n$ 之外的类型，特别是 $B_n$ 和 $D_n$ 类型，其中当前方法因根三元组关系不满足引理 4.2 中的恒等式 (108) 而失效？
• RQ5 在奇异椭圆上同调设定下，Schubert 基的精确代数结构是什么？它与 Hecke 代数有何关系？

主要发现

• 作者通过 Hecke 代数的 Kazhdan-Lusztig 基在等变椭圆上同调中构造了 Schubert 基，所得类不依赖于约化字词的选择。
• 该构造在等变设定下满足非负性猜想，扩展了非等变情形下不存在的性质。
• 对于类型 $A_{n-1}$ 和 $C_n$ 中的最长元素 $w_{ullet}^n$，KL-Schubert 类 $\gamma_{w_{ullet}^n}$ 通过涉及 $t$-变形算子的递归公式及对 $n$ 的归纳法计算得出，基础情形在例 3.8 中处理。
• 在类型 $A_{n-1}$ 中，表达式 $\gamma_{w_{ullet}^n}$ 被证明等于 $\sum_{u\in W^{n-1}} t^{2n-1-\ell(u)} \tau_u \gamma_{w_{\bullet}^{n-1}}$，确立了递归结构。
• 在类型 $C_n$ 中，相同的递归结构成立，且证明了 Schubert 代数 $X(w_m^{-1})$ 在 $w_m$ 为 $W_n/W_{n-1}$ 中陪集的最高代表元时是光滑的，从而可与拓扑类进行比较。
• 由于根三元组关系不满足引理 4.2 中的恒等式 (108)，该方法在类型 $B_n$ 和 $D_n$ 中失效，表明当前形式体系存在局限性。