[论文解读] A Schwartz type algebra for the Tangent Groupoid

Paulo Carrillo Rouse|ArXiv.org|Feb 25, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 21被引用 13

一句话总结

本文在李群胚 $\mathscr{G}$ 的切丛群胚 $\mathscr{G}^T$ 上构造了一个施瓦茨型代数，记为 $\mathscr{S}_{r,c}(\mathscr{G}^T)$，其在 $[0,1]$ 上形成一个连续的代数丛。在 $t=0$ 处的纤维同构于李代数胚的施瓦茨代数 $\mathscr{S}(A\mathscr{G})$，而在 $t>0$ 处的纤维同构于卷积代数 $C^\infty_c(\mathscr{G})$。该中间代数使得能够定义与循环上同调及陈-康内斯示性类理论相容的精细指标态射。

ABSTRACT

We construct an algebra of smooth functions over the tangent groupoid associated to any Lie groupoid. This algebra is a field of algebras over the closed interval [0, 1] which fiber at zero is the algebra of Schwartz functions over the Lie algebroid, whereas any fiber out of zero is the convolution algebra of the initial groupoid. Our motivation comes from index theory for Lie groupoids. In fact, our construction gives an intermediate algebra between the enveloping C-algebra and the convolution algebra of compactly supported functions of the tangent groupoid; and it will allows us, in a further work, to define other analytic index morphisms as a sort of deformations.

研究动机与目标

• 在李群胚的 $C^\infty_c(\mathscr{G})$ 与 $C^*(\mathscr{G})$ 层次之间构造一个中间代数。
• 克服 $C^\infty_c(\mathscr{G})$-指标的局限性，其缺乏同伦不变性，同时保留与循环上同调工具的兼容性。
• 在切丛群胚上提供一个光滑且几何自然的代数结构，该结构在 $t=0$ 处插值于李代数胚，在 $t>0$ 处插值于群胚。
• 使得能够在 $K_0$-理论中定义新的解析指标态射，这些态射可通过陈-康内斯示性类理论与循环上循环配对。
• 建立类似于 $C^*$-代数情形的短正合列，以支持在光滑层面上的指标理论。

提出的方法

• 在切丛群胚 $\mathscr{G}^T = A\mathscr{G} \times \{0\} \sqcup \mathscr{G} \times (0,1]$ 上构造光滑函数的层，其在 $t=0$ 处满足施瓦茨型衰减条件。
• 将代数 $\mathscr{S}_{r,c}(\mathscr{G}^T)$ 定义为在 $t=0$ 纤维（即李代数胚）上快速衰减、在 $t>0$ 纤维（即群胚）上具有紧台支集的光滑函数空间。
• 通过局部平凡化和微分同胚不变性，利用过渡映射在整体上定义代数，确保在不同坐标图之间的一致性。
• 建立在 $t=0$ 处取值于 $\mathscr{S}(A\mathscr{G})$ 的评价态射 $e_t: \mathscr{S}_{r,c}(\mathscr{G}^T) \to \mathscr{S}(A\mathscr{G})$，以及在 $t>0$ 处取值于 $C^\infty_c(\mathscr{G})$ 的评价态射 $e_t: \mathscr{S}_{r,c}(\mathscr{G}^T) \to C^\infty_c(\mathscr{G})$，使得 $\mathscr{S}_{r,c}(\mathscr{G}^T)$ 成为 $[0,1]$ 上的连续代数丛。
• 通过分区单位和过渡映射的使用，证明该代数在微分同胚下不变，并在不同图册之间一致定义。
• 构造一个短正合列 $0 \to J \to \mathscr{S}_{r,c}(\mathscr{G}^T) \xrightarrow{e_0} \mathscr{S}(A\mathscr{G}) \to 0$，其类似于 $C^*$-情形，以支持未来在光滑层面上的指标理论。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在切丛群胚上构造一个光滑且几何自然的代数结构，使其在李代数胚的施瓦茨代数与群胚的卷积代数之间实现插值？
• RQ2 这样的代数是否允许定义既精细（如 $C^\infty_c$-指标）又与循环上同调工具（如陈-康内斯示性类）兼容的解析指标态射？
• RQ3 是否可能在光滑层面上构造一个类似于 $C^*$-代数情形的代数短正合列，以支持不依赖于 $C^*$-同伦不变性的指标理论？
• RQ4 如何利用切丛群胚的代数结构定义比 $C^*$-指标更精细但比 $C^\infty_c$-指标更稳定的指标态射？
• RQ5 该代数结构能否支持一种保持几何与分析控制的变形理论方法来研究指标理论？

主要发现

• 代数 $\mathscr{S}_{r,c}(\mathscr{G}^T)$ 是 $[0,1]$ 上的连续代数丛，其在 $t=0$ 处的纤维同构于李代数胚的施瓦茨代数 $\mathscr{S}(A\mathscr{G})$，在 $t>0$ 处的纤维同构于 $\mathscr{G}$ 上紧台支集光滑函数的卷积代数 $C^\infty_c(\mathscr{G})$。
• 包含关系 $C^\infty_c(\mathscr{G}^T) \subset \mathscr{S}_{r,c}(\mathscr{G}^T) \subset C^*(\mathscr{G}^T)$ 成立，表明该新代数是光滑层与 $C^*$-层之间的自然中间对象。
• 评价映射 $e_t$ 是良定义的代数态射，确保代数结构与 $[0,1]$ 上的纤维丛相容，且纤维代数被正确实现。
• 该构造在微分同胚下不变，并在不同坐标图之间一致粘合，确保在切丛群胚上整体良定义。
• 建立了短正合列 $0 \to J \to \mathscr{S}_{r,c}(\mathscr{G}^T) \xrightarrow{e_0} \mathscr{S}(A\mathscr{G}) \to 0$，其类似于 $C^*$-情形，为未来在光滑层面上的指标理论构造提供了支持。
• 该代数为在 $K_0$-理论中定义新的解析指标态射提供了框架，这些态射与陈-康内斯示性类理论兼容，克服了 $C^\infty_c$ 与 $C^*$-指标的局限性。