[论文解读] A Second-Order Crank-Nicolson Method for Subdiffusion

Bangti Jin, Buyang Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2016

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文提出了一种针对具有阶数 $\alpha \in (0,1)$ 的Caputo分数阶导数的亚扩散方程的二阶精度Crank-Nicolson型时间半离散格式。通过将向后欧拉卷积求积法与 $\theta$-法（其中 $\theta = \alpha/2$）相结合，并施加初始校正，该格式在与空间上的Galerkin有限元方法耦合时，对光滑和非光滑数据均实现了时间方向的二阶收敛。

ABSTRACT

In this work, we analyze a Crank-Nicolson type time stepping scheme for the subdiffusion equation, which involves a Caputo fractional derivative of order $\alpha\in (0,1)$ in time. It combines the backward Euler convolution quadrature with a $ heta$-type method, with the parameter $ heta$ dependent on the fractional order $\alpha$ by $ heta=\alpha/2$, and it naturally generalizes the classical Crank-Nicolson method. We develop essential initial corrections for the fractional Crank-Nicolson scheme, and together with the Galerkin finite element method in space, obtain a fully discrete scheme. A complete error analysis of the fully discrete scheme is provided, and a second-order accuracy in time is established for both smooth and nonsmooth problem data. Extensive numerical experiments are provided to illustrate its accuracy, efficiency and robustness, and further, the comparative study indicates that the scheme is competitive with existing schemes.

研究动机与目标

• 开发一种针对具有阶数 $\alpha \in (0,1)$ 的Caputo分数阶导数的亚扩散方程的时间半离散格式，实现时间方向的二阶精度。
• 通过引入依赖于 $\theta$ 的参数 $\theta = \alpha/2$，将经典的Crank-Nicolson方法推广至分数阶亚扩散情形。
• 通过引入关键的初始校正，解决非光滑初始数据下收敛阶下降的问题。
• 将所提出的时序格式与空间上的Galerkin有限元方法结合，形成全离散格式。
• 提供完整的误差分析，并通过大量数值实验验证该格式的鲁棒性和高效性。

提出的方法

• 时间半离散采用基于向后欧拉卷积求积法的Crank-Nicolson型格式，其中 $\theta$-法的参数设定为 $\theta = \alpha/2$，确保经典方法向分数阶阶数的推广。
• 推导并应用初始校正，以恢复在非光滑问题数据下原本会降低收敛率的二阶收敛性。
• 空间半离散采用Galerkin有限元方法，从而获得具有最优稳定性和收敛性的全离散格式。
• 在 $L^2$ 范数和能量范数下进行误差分析，证明了对光滑和非光滑初始数据均实现时间方向的二阶收敛。
• 通过大量数值实验验证该格式，包括与现有方法的对比，证明其精度、效率和鲁棒性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有Caputo分数阶导数的亚扩散问题构造一种Crank-Nicolson型格式，使其在时间方向实现二阶精度？
• RQ2 如何设计初始校正，以在分数阶亚扩散格式中恢复非光滑初始数据下的二阶收敛性？
• RQ3 当与空间上的Galerkin有限元方法结合时，所提出的格式是否仍保持二阶收敛性？
• RQ4 与现有亚扩散数值格式相比，该格式在精度和效率方面表现如何？
• RQ5 能否通过基于分数阶阶数 $\alpha$ 调整 $\theta$ 参数，将经典Crank-Nicolson格式推广至分数阶亚扩散情形？

主要发现

• 所提出的格式对光滑和非光滑初始数据均实现了时间方向的二阶收敛，克服了分数阶亚扩散中常见的收敛阶降低问题。
• 初始校正是保持二阶精度的关键，尤其在非光滑数据下，其在分析中被严格推导。
• 将时序格式与Galerkin有限元方法结合形成的全离散格式具有无条件稳定性和最优阶收敛性。
• 数值实验验证了理论误差估计，并展示了该格式在各种测试案例中的鲁棒性。
• 对比研究显示，该格式在精度和计算效率方面与现有方法具有竞争力。
• 参数选择 $\theta = \alpha/2$ 有效实现了经典Crank-Nicolson方法向分数阶亚扩散情形的推广。