[论文解读] A Second Order Energy Stable Scheme for the Cahn-Hilliard-Hele-Shaw Equations

Wenbin Chen, Wenqiang Feng+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2016

Solidification and crystal growth phenomena参考文献 12被引用 9

一句话总结

本论文提出了一种针对Cahn-Hilliard-Hele-Shaw方程的二阶精度、无条件能量稳定的有限差分格式，采用改进的Crank-Nicolson与Adams-Moulton方法进行时间半离散化，结合凸分裂法与非线性项的半隐式处理。该格式确保了唯一可解性，并通过与ε无关的$\varepsilon$-independent $ℚ^{\infty}(0,T;H_{h}^{1})$误差估计实现了最优收敛速率，数值模拟验证了其有效性。

ABSTRACT

We present a second-order-in-time finite difference scheme for the Cahn-Hilliard-Hele-Shaw equations. This numerical method is uniquely solvable and unconditionally energy stable. At each time step, this scheme leads to a system of nonlinear equations that can be efficiently solved by a nonlinear multigrid solver. Owing to the energy stability, we derive an $\ell^2 (0,T; H_h^3)$ stability of the numerical scheme. To overcome the difficulty associated with the convection term $ abla \cdot (ϕ\boldsymbol{u})$, we perform an $\ell^\infty (0,T; H_h^1)$ error estimate instead of the classical $\ell^\infty (0,T; \ell^2)$ one to obtain the optimal rate convergence analysis. In addition, various numerical simulations are carried out, which demonstrate the accuracy and efficiency of the proposed numerical scheme.

研究动机与目标

• 为Cahn-Hilliard-Hele-Shaw系统开发一种二阶时间精度的数值格式，确保无条件能量稳定性。
• 通过采用$ℚ^{\infty}(0,T;H_{h}^{1})$误差估计而非经典的$ℚ^{\infty}(0,T;\ell^{2})$，克服在能量稳定性与收敛性分析中对对流项处理的挑战。
• 为该系统建立二阶格式的最优收敛速率分析，这在文献中较为罕见。
• 通过在每个时间步使用非线性多重网格求解器，确保唯一可解性与鲁棒性。
• 通过在二维与三维中的大量数值模拟，验证该格式的精度与效率。

提出的方法

• 对非线性化学势项应用改进的Crank-Nicolson格式，以实现时间方向的二阶精度。
• 在时间层$t^{n+1}$与$t^{n-1}$处使用Adams-Moulton插值公式处理最高阶表面扩散项，以增强稳定性和收敛性分析。
• 通过Adams-Bashforth外推法显式处理能量的凹部分，以保持能量稳定性。
• 对对流项$\nabla \cdot (\phi \mathbf{u})$采用半隐式处理，其中相场变量进行外推，速度场则通过Darcy定律隐式更新。
• 采用凸分裂策略将能量分解为凸部分与凹部分，从而实现无条件能量稳定性。
• 在每个时间步求解得到的非线性系统时，采用非线性多重网格求解器，实现高效求解。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为Cahn-Hilliard-Hele-Shaw系统构造一种二阶时间精度的有限差分格式，使其具备无条件能量稳定性与唯一可解性？
• RQ2 如何处理对流项$\nabla \cdot (\phi \mathbf{u})$，以实现在比$\ell^{\infty}(0,T;\ell^{2})$更自然的范数下的最优收敛性分析？
• RQ3 该系统中二阶格式可实现的最优收敛速率为何？能否通过改进的时间离散化策略严格证明？
• RQ4 该格式是否能在任意时间步长下保持能量稳定性，即使时间步长较大？
• RQ5 在二维与三维基准问题中，该格式在精度与效率方面表现如何？

主要发现

• 所提出的格式具有无条件能量稳定性，离散能量随时间衰减，与时间步长无关。
• 在每个时间步均保证唯一可解性，确保数值解的适定性。
• 推导出$\ell^{2}(0,T;H_{h}^{3})$稳定性估计，表明数值解具有较高的正则性。
• 建立了$\ell^{\infty}(0,T;H_{h}^{1})$误差估计，使得在比经典$\ell^{\infty}(0,T;\ell^{2})$更宽松的范数下，实现了时间方向的最优二阶收敛。
• 数值模拟结果证实了时间方向的二阶收敛性，并在二维与三维区域中展示了格式的鲁棒性与高效性。
• 非线性多重网格求解器能高效求解每个时间步的系统，保持了该格式在实际应用中的可行性。