[论文解读] A second-order numerical method for Landau-Lifshitz-Gilbert equation with large damping parameters

Yongyong Cai, Jingrun Chen+2 more|arXiv (Cornell University)|May 8, 2021

Magnetic properties of thin films参考文献 28被引用 11

一句话总结

本文提出了一种针对大阻尼参数下Landau-Lifshitz-Gilbert（LLG）方程的二阶精度、无条件稳定的数值方法。通过将阻尼项重新表述为调和映射流，并采用二阶BDF时间离散化，同时对非线性项进行全显式处理，该方法在每个时间步仅需求解具有常系数的对称正定线性系统——从而可高效使用FFT加速求解器。关键贡献在于提出了一种计算高效、二阶精度的格式，在大阻尼条件下仍保持稳定性和物理准确性，经一维和三维模拟（包括畴壁动力学）验证。

ABSTRACT

A second order accurate numerical scheme is proposed and implemented for the Landau-Lifshitz-Gilbert equation, which models magnetization dynamics in ferromagnetic materials, with large damping parameters. The main advantages of this method are associated with the following features: (1) It only solves linear systems of equations with constant coefficients where fast solvers are available, so that the numerical efficiency has been greatly improved, in comparison with the existing Gauss-Seidel project method. (2) The second-order accuracy in time is achieved, and it is unconditionally stable for large damping parameters. Moreover, both the second-order accuracy and the great efficiency improvement will be verified by several numerical examples in the 1D and 3D simulations. In the presence of large damping parameters, it is observed that this method is unconditionally stable and finds physically reasonable structures while many existing methods have failed. For the domain wall dynamics, the linear dependence of wall velocity with respect to the damping parameter and the external magnetic field will be obtained through the reported simulations.

研究动机与目标

• 开发一种数值高效且稳定的LLG方程求解方法，适用于现代磁性材料中常见的大阻尼参数，而此类参数在现有数值格式中尚未得到充分探索。
• 克服现有半隐式方法的计算瓶颈，这些方法在每个时间步需求解非对称线性系统，导致效率受限于GMRES等迭代求解器的依赖。
• 在保持相同计算复杂度并支持快速求解器的前提下，改进仅具一阶时间精度的高斯-赛德尔投影法（GSPM），实现二阶时间精度。
• 提供一个鲁棒的数值框架，能够准确捕捉在大阻尼条件下其他方法失效或不稳定的物理动力学行为，如畴壁运动与能量耗散。

提出的方法

• 通过将阻尼项表示为调和映射流，重新表述LLG方程，从而更系统地处理类似扩散的行为。
• 对时间导数应用二阶后向差分公式（BDF2），确保时间方向上的二阶精度。
• 利用BDF2格式对常系数拉普拉斯（扩散）项进行隐式处理，形成适合快速求解器的对称正定线性系统。
• 所有非线性项——特别是自旋-轨道耦合项与调和映射流的非线性部分——采用二阶外推公式进行显式处理，以维持稳定性和效率。
• 每个时间步得到的线性系统均为对称正定，因此可使用FFT加速的快速求解器，显著提升计算效率。
• 由于调和映射流带来的稳定耗散作用，该方法在大阻尼参数下表现出无条件稳定性，数值实验已验证此特性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为大阻尼参数下的LLG方程开发一种二阶精度、无条件稳定的数值格式，而现有方法在该参数范围内常失效或不稳定？
• RQ2 尽管LLG方程具有矢量性和非线性特征，该方法是否仍能通过启用FFT等快速求解器，保持高计算效率？
• RQ3 畴壁速度如何依赖于阻尼参数α和外磁场he？该依赖关系能否被新格式准确捕捉？
• RQ4 在大阻尼条件下，该方法是否比高斯-赛德尔投影法（GSPM）和半隐式投影法（SIPM）更具效率和准确性，特别是在三维模拟中？

主要发现

• 所提方法在1D和3D模拟中均实现了二阶时间精度，所有测试误差范数的收敛阶数均约为2.0。
• 该方法在大阻尼参数（高达α = 40）下仍保持无条件稳定，而GSPM与SIPM在相同条件下表现出不稳定或非物理解。
• 畴壁速度对阻尼参数α和外磁场he均呈线性依赖，通过最小二乘拟合得到斜率范围为0.91至1.02 m/s每单位α，以及0.91至0.95 m/s每mT的he。
• 所提方法显著优于GSPM与SIPM：在1D中，其CPU时间低于SIPM且远低于GSPM；在3D中，其效率与GSPM相当，但远快于SIPM，且精度相当。
• 能量演化曲线显示，在α = 2, 5, 8时，三种方法的耗散模式一致；在α = 10时，SIPM呈现略有不同的耗散模式，表明所提方法在极端阻尼下具有更强鲁棒性。
• 即使在α = 40的极端条件下，该方法仍能成功捕捉物理上合理的磁化结构，如稳定的畴壁和均匀磁化态，而其他方法已失效。