[论文解读] A Self-Dual Hopf Algebra on Double Partially Ordered Sets

Claudia Malvenuto, Christophe Reutenauer|arXiv (Cornell University)|May 21, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用 14

一句话总结

本文在有限双偏序集（双posets）的同构类上构建了一个自对偶的霍普夫代数，使用不相交并作为乘法，以及基于第一个偏序中下理想及其补集的自然分解作为余乘法。关键贡献在于引入了一种计数‘图像’的双线性型，该双线性型推广了利特尔伍德-理查森法则，并通过一个保持内积与内部乘法的等距同态，将该代数与斯坦利的标记偏序集及置换霍普夫代数联系起来。

ABSTRACT

Let $\mathbf D$ be the set of isomorphism types of finite double partially ordered sets, that is sets endowed with two partial orders. On $\BZ\mathbf D$ we define a product and a coproduct, together with an internal product, that is, degree-preserving. With these operations $\BZ\mathbf D$ is a Hopf algebra, self-dual with respect to a scalar product which counts the number of pictures (in the sense of Zelevinsky) between two double posets. The product and coproduct correspond respectively to disjoint union of posets and to a natural decomposition of a poset into order ideals. Restricting to special double posets (meaning that the second order is total), we obtain a notion equivalent to Stanley's labelled posets, and obtain a sub-Hopf-algebra already considered by Blessenohl and Schocker. The mapping which maps each double poset onto the sum of the linear extensions of its first order, identified via its second (total) order with permutations, is a Hopf algebra homomorphism, which is isometric and preserves the internal product, onto the Hopf algebra of permutations, previously considered by the two authors. Finally, the scalar product between any special double poset and double posets naturally associated to integer partitions is described by an extension of the Littlewood-Richardson rule.

研究动机与目标

• 在有限双偏序集的同构类上定义一个新的自对偶霍普夫代数结构。
• 基于双偏序集之间的“图像”建立一个双线性型，推广泽列夫斯基对斜对称舒尔函数的图像计数定义。
• 证明特殊双偏序集子霍普夫代数（其中第二个偏序为全序）同构于斯坦利的标记偏序集，并可等距映射到置换霍普夫代数。
• 将利特尔伍德-理查森法则扩展，用于计算特殊双偏序集与整数分拆相关联的双偏序集之间的双线性型。

提出的方法

• 在双偏序集的自由Z-模上定义乘法为不相交并，同时保持两个偏序关系。
• 通过在第一个偏序中对下理想及其补集进行分解来定义余乘法，将两个偏序限制在各分量上。
• 引入双线性型⟨x, y⟩作为从双偏序集x到y的序保持映射（图像）的数量，推广泽列夫斯基的定义。
• 证明由此构造的代数是分次的、连通的双代数，因此是霍普夫代数，并关于此双线性型自对偶。
• 限制到特殊双偏序集（第二个偏序为全序）以恢复斯坦利的标记偏序集，并建立到置换霍普夫代数的霍普夫代数同态。
• 利用标准杨表的行字串与读出字串，以及其对应的排列及其逆，来刻画双线性型，并扩展利特尔伍德-理查森法则。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过组合运算在双偏序集上构造一个自对偶霍普夫代数？
• RQ2 双偏序集之间的“图像”在定义推广利特尔伍德-理查森法则的双线性型中起什么作用？
• RQ3 特殊双偏序集子霍普夫代数（第二个偏序为全序）与斯坦利的标记偏序集及置换霍普夫代数有何关系？
• RQ4 能否通过扩展的利特尔伍德-理查森法则计算特殊双偏序集与整数分拆相关联的双偏序集之间的双线性型？
• RQ5 从特殊双偏序集到置换霍普夫代数的自然同态是否保持内积并保持内部乘法？

主要发现

• 在双偏序集同构类的自由Z-模上，通过不相交并（乘法）和对第一个偏序中下理想的分解（余乘法）构造的代数，关于通过计数图像定义的对偶关系，成为自对偶霍普夫代数。
• 双线性型⟨x, y⟩计数从x到y的序保持映射（图像）的数量，推广了泽列夫斯基对斜形状的图像计数定义。
• 特殊双偏序集子霍普夫代数（其中第二个偏序为全序）同构于斯坦利的标记偏序集，并可同构映射到置换霍普夫代数。
• 从特殊双偏序集到置换霍普夫代数的同态是等距的，并保持内部乘法。
• 特殊双偏序集与整数分拆相关联的双偏序集之间的双线性型，可通过利特尔伍德-理查森法则的扩展来计算。
• 标准杨表的读出字串与格路排列的标准化的逆之间，通过涉及最长元及杨子群元素的排列建立联系。