[论文解读] A selfadjoint variant of the time operator

Rafael de la Madrid, J. M. Isidro|ArXiv.org|Feb 12, 2007

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文提出了一种自伴时间算符 $T_{\sqrt{}}$，其构造方式为非自伴时间算符 $T^2$ 的弗里德里奇斯扩张的正平方根。通过利用全纯傅里叶变换和谱论，$T_{\sqrt{}}$ 实现了实数且正定的谱以及良好的时间表象，尽管其与哈密顿量不满足典范对易关系。其主要贡献在于提出了一种自伴的时间算符变体，解决了谱和表象问题，同时引入了类似海森堡代数的修正结构。

ABSTRACT

We study the selfadjoint time operator recently constructed by one of the authors. We will show that this time operator must be interpreted as a ``selfadjoint variant'' of the time operator.

研究动机与目标

• 为解决量子力学中构造自伴时间算符的长期难题，鉴于泡利定理禁止与有下界的哈密顿量典范对易。
• 克服非自伴时间算符的局限性，如复谱以及依赖正算子值测度（POVM），后者缺乏适当的希尔伯特空间表象。
• 构造一个具有实谱和良好时间表象的自伴时间可观测量，与标准量子力学可观测量相容。
• 分析由 $T_{\sqrt{}}$ 和哈密顿量生成的代数结构，表明由于非典范对易关系，其形成了一类海森堡代数的变体。

提出的方法

• 利用全纯傅里叶变换（HFT）在能量表象与时间表象之间建立映射，将原始的非自伴时间算符 $T$ 定义为能量表象中的 $i\hbar \, d/dE$。
• 构造 $T^2 = -\hbar^2 d^2/dE^2$，并识别其弗里德里奇斯扩张 $T_F^2$，该算符为自伴算符，其定义域要求 $f(0) = 0$ 且 $f \in AC^2([0,\infty))$。
• 将自伴时间算符定义为 $T_{\sqrt{}} = +\sqrt{T_F^2}$，通过谱定理确保其具有实谱 $[0,\infty)$ 且为自伴算符。
• 建立一个时间表象，其中 $T_{\sqrt{}}$ 作为乘法算符作用于 $t$，其本征函数由全纯傅里叶变换导出的正弦函数构成。
• 证明 $T_{\sqrt{}}$ 不满足典范对易关系 $[T_{\sqrt{}}, H] = i\hbar \mathbf{1}$，从而与原始算符 $T$ 区分，因此其为“自伴变体”。
• 构造代数 $\mathcal{A} = \{T_{\sqrt{}}, H, I, 1\}$，其中 $I = [T_{\sqrt{}}, H]$，该代数为包络代数而非李代数，因其对易子无法仅用生成元表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个自伴时间算符，以避免原始非自伴时间算符 $T$ 所面临的谱和表象问题？
• RQ2 所得到的自伴算符 $T_{\sqrt{}}$ 是否保留了有意义的时间表象，其与基于 POVM 的方法有何不同？
• RQ3 由 $T_{\sqrt{}}$ 和哈密顿量 $H$ 生成的代数结构是什么，其与标准海森堡代数有何偏离？
• RQ4 为何 $T_{\sqrt{}}$ 无法与 $H$ 典范对易，这对量子力学有何影响？
• RQ5 能否修改代数框架，使其在保持自伴性和物理一致性的同时对对易子封闭？

主要发现

• 算符 $T_{\sqrt{}}$ 为自伴算符，其谱为实数 $\sigma(T_{\sqrt{}}) = [0, \infty)$，由 $T^2$ 的弗里德里奇斯扩张的平方根导出。
• 与 $T_{\sqrt{}}$ 关联的时间表象是良好定义的，其中 $T_{\sqrt{}}$ 作为乘法算符作用于 $t$，其本征函数为 $\psi_t(E) \propto \sin(\sqrt{E}t/\hbar)$。
• 尽管 $T_{\sqrt{}}$ 为自伴算符，但其不满足典范对易关系 $[T_{\sqrt{}}, H] = i\hbar \mathbf{1}$，从而与原始算符 $T$ 区分。
• 由 $T_{\sqrt{}}$、$H$ 及对易子 $I = [T_{\sqrt{}}, H]$ 生成的代数为包络代数，而非李代数，因其对易子无法仅用生成元表示。
• 若将 $T_{\sqrt{}}$ 替换为 $T_{\sqrt{}}^2$ 并引入非自伴算符 $T$，可构造出李代数，但代价是失去时间可观测量的自伴性。
• 该构造可推广至其他算符，如三维径向动量和半直线动量，通过类似的谱方法得到自伴变体。