[论文解读] A semi-finite algebra associated to a planar algebra

Alice Guionnet, Vaughan F. R. Jones+1 more|ArXiv.org|Nov 25, 2009

Advanced Operator Algebra Research被引用 17

一句话总结

该论文通过在非单位迹归纳极限代数上使用GNS构造，从子因子平面代数构建了两个半有限型 II∞ von Neumann 代数 𝔐₊ 和 𝔐₋。证明了先前工作中构造的有限指标子因子 Mₖ 同构于插值自由群因子 L(𝔽(rₖ))，其中 rₖ = 1 + 2δ⁻²ᵏ(δ−1)I，δ² 为指标，I 为全局指标，并利用此结果通过自由概率计算琼斯-温兹尔投影的联合分布。

ABSTRACT

We canonically associate to any planar algebra two type II_{\infty} factors M_{+} and M_{-}. The subfactors constructed previously by the authors in a previous paper are isomorphic to compressions of M_{+} and M_{-} to finite projections. We show that each \mathfrak{M}_{\pm} is isomorphic to an amalgamated free product of type I von Neumann algebras with amalgamation over a fixed discrete type I von Neumann subalgebra. In the finite-depth case, existing results in the literature imply that M_{+} \cong M_{-} is the amplification a free group factor on a finite number of generators. As an application, we show that the factors M_{j} constructed in our previous paper are isomorphic to interpolated free group factors L(\mathbb{F}(r_{j})), r_{j}=1+2δ^{-2j}(δ-1)I, where δ^{2} is the index of the planar algebra and I is its global index. Other applications include computations of laws of Jones-Wenzl projections.

研究动机与目标

• 通过在迹归纳极限代数上使用 GNS 构造，为任意平面代数关联一个规范的半有限型 II∞ 因子 𝔐₊ 和 𝔐₋。
• 确定由平面代数的 GNS 表示所构造的有限指标子因子 Mₖ 的同构类。
• 利用相关 II∞ 因子的结构和自由概率，计算琼斯-温兹尔投影的联合分布。
• 为 GNS 构造提供一个随机矩阵模型，以实现谱分布的显式计算。

提出的方法

• 从平面代数构造一个非单位迹归纳极限代数 V₊，使用具有特定阴影的图示，并通过辫子运算定义乘法。
• 通过所有 Temperley-Lieb 图的和定义 V₊ 上的迹 Tr，并应用 GNS 构造得到半有限 von Neumann 代数 𝔐₊。
• 证明每个 𝔐₊ 和 𝔐₋ 同构于在固定离散型 I 子代数上进行的型 I von Neumann 代数的并合自由积。
• 证明对于有限深度平面代数，𝔐₊ 和 𝔐₋ 同构于自由积分类结果中的自由群因子的放大，依据 Dykema 的自由积结果。
• 使用 GNS 表示的随机矩阵模型，将算子建模为独立的分块矩阵，从而实现自由独立性和 S-变换的计算。
• 应用自由概率工具，特别是 S-变换，递归计算琼斯-温兹尔投影 JWₙ 的谱分布 νₙ。

实验结果

研究问题

• RQ1 与平面代数规范关联的半有限 von Neumann 代数 𝔐₊ 和 𝔐₋ 的结构是什么？
• RQ2 通过 GNS 表示构造的有限指标子因子 Mₖ 的同构类如何分类？
• RQ3 在平面代数的 GNS 表示中，琼斯-温兹尔投影 JWₙ 的联合分布是什么？
• RQ4 先前工作中使用的随机矩阵模型能否从 II∞ 因子的结构中严格推导出来？
• RQ5 S-变换如何促进 JWₙ 谱分布的递归计算？

主要发现

• 有限指标子因子 Mₖ 同构于插值自由群因子 L(𝔽(rₖ))，其中 rₖ = 1 + 2δ⁻²ᵏ(δ−1)I，δ² 为指标，I 为平面代数的全局指标。
• 每个 𝔐₊ 和 𝔐₋ 同构于在固定离散型 I 子代数上进行的型 I von Neumann 代数的并合自由积。
• 在有限深度情况下，𝔐₊ 和 𝔐₋ 的同构类由 Dykema 对自由积的分类确定，结论为它们是自由群因子的放大。
• 琼斯-温兹尔投影的联合分布通过自由独立性递归计算：νₙ = π_{μₙ₊₁/μₙ} ⨂ (μₙ⁻¹νₙ₋₁ + (1−μₙ⁻¹)δ₀)，其中 μ₁ = 1。
• 谱分布 νₙ 的 S-变换满足递推关系 Ξₙ(z) = Ξₙ₋₁(μₙz) ⋅ μₙ(μₙ + μₙz) / ((1 + μₙz)(μₙ₊₁ + μₙz))，初始条件为 Ξ₁(z) = 1/(z + μ₂)。
• 在 [GJS08] 中使用的随机矩阵模型作为 M₀ 与 𝔐₊ 的压缩之间同构的结果被恢复，从而可通过自由独立性实现矩的显式计算。