[论文解读] A Semi-Lagrangian scheme for a degenerate second order Mean Field Game system

Elisabetta Carlini, Francisco J. Silva|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 32被引用 60

一句话总结

本文提出了一种用于求解退化二阶平均场博弈（MFG）系统的全离散半拉格朗日格式，结合了汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程的半拉格朗日离散化与一阶福克-普朗克格式向二阶动力学的创新扩展。主要贡献在于：当状态维度为一维时，证明了该离散格式收敛于连续MFG系统的解，数值模拟验证了在退化扩散与非退化扩散情形下表现出显著不同的行为。

ABSTRACT

In this paper we study a fully discrete Semi-Lagrangian approximation of a second order Mean Field Game system, which can be degenerate. We prove that the resulting scheme is well posed and, if the state dimension is equals to one, we prove a convergence result. Some numerical simulations are provided, evidencing the convergence of the approximation and also the difference between the numerical results for the degenerate and non-degenerate cases.

研究动机与目标

• 开发一种用于退化二阶平均场博弈系统的全离散半拉格朗日格式，推广现有方法以处理可变且退化的扩散问题。
• 利用布劳威尔不动点定理建立离散格式的适定性。
• 证明当状态维度为一维时，离散解收敛于连续MFG系统的粘性解。
• 在退化、非退化和确定性扩散情形下，对解的行为进行数值比较。

提出的方法

• 对系统中的汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程应用全离散半拉格朗日格式，采用时间步长$\rho$与空间步长$h$的离散化。
• 通过与光滑核$\phi_\varepsilon$的卷积对格式进行正则化，以确保值函数近似$v^{\varepsilon}_{\rho,h}[\mu]$的光滑性与稳定性。
• 提出一种一阶福克-普朗克格式向二阶情形的创新扩展，确保测度$m^{\varepsilon}_{\rho,h}[\mu]$的演化一致。
• 通过不动点迭代求解离散系统，其中解$\mu$必须满足$m^{\varepsilon}_{\rho,h}[\mu] = \mu$，并利用布劳威尔不动点定理证明解的存在性。
• 通过将格式解释为马尔可夫链，建立离散测度解的相对紧性。
• 利用值函数的离散半凹性与密度的$L^\infty$-范数界，证明梯度几乎处处收敛及测度弱收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否有效将半拉格朗日格式扩展至二阶退化平均场博弈系统？
• RQ2 所提出的全离散格式在扩散系数退化时是否仍保持适定性？
• RQ3 在单空间维数下，MFG系统的离散解是否收敛于连续系统的解？
• RQ4 在退化、非退化与确定性扩散情形下，数值解有何差异？

主要发现

• 所提出的半拉格朗日格式是适定的，且可通过布劳威尔不动点定理保证解的存在性。
• 在一维情形下，在离散参数满足适当条件时，该格式收敛于连续MFG系统的粘性解。
• 数值模拟证实了不动点迭代的收敛性，满足$\tau = 10^{-3}$容差通常仅需6至10次迭代。
• 当$\rho = 6.25 \times 10^{-3}$，$\varepsilon = 0.15$时，值函数误差低至$1.08 \times 10^{-6}$，密度误差低至$1.17 \times 10^{-4}$。
• 在退化情形（$\sigma(t) = \max(0, 0.2 - |t-1|)$）下，扩散仅作用于$[0.8, 1.2]$区间，导致先扩散后重新聚集的瞬态行为，与恒定扩散情形明显不同。
• $V_\delta$惩罚项显著降低了密度峰值集中程度，当其缺失时会引发非物理的聚集现象。