[论文解读] A semilinear problem with a W^{1,1}_0 solution

Lucio Boccardo, Gisella Croce+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2012

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 2被引用 5

一句话总结

本文在非自反的索博列夫空间 $W^{1,1}_0(\Omega)$ 中建立了具有非线性扩散项（分母含 $|u|$）的退化半线性椭圆方程的分布解的存在性。通过逼近 $L^2(\Omega)$ 右端项 $f$，并结合先验估计、截断技巧与 $L^2$ 中的弱收敛，作者证明了解 $u$ 属于 $W^{1,1}_0(\Omega) \cap L^2(\Omega)$，从而解决了先前结果中 $m=2$ 的临界情况。

ABSTRACT

We study a degenerate elliptic equation, proving the existence of a W^{1,1}_0 distributional solution.

研究动机与目标

• 在形式为 $\mathrm{div}\left(\frac{a(x)\nabla u}{(1+b(x)|u|)^2}\right)$ 的非线性扩散项下，建立退化椭圆方程在 $W^{1,1}_0(\Omega)$ 中分布解的存在性。
• 解决源项 $f$ 的可积性中的临界情况 $m=2$，此前结果仅给出 $W^{1,q}_0$ 解（$q<2$）或熵解。
• 将 $W^{1,1}_0$ 解的理论拓展至非自反的 $W^{1,s}_0$ 空间（$s>1$）之外，尤其在奇异或退化算子的背景下。
• 当标准 $L^p$ 方法因缺乏紧致性而失效时，为非自反索伯列夫空间中的解提供一个严谨的框架。

提出的方法

• 将 $L^2(\Omega)$ 源项 $f$ 逼近为 $L^\infty(\Omega)$ 中的有界函数列 $\{f_n\}$，满足 $|f_n| \leq |f|$ 且 $f_n \to f$ 在 $L^2(\Omega)$ 中强收敛。
• 通过在截断问题的版本上应用施瓦兹不动点定理（Schauder 定理），构造 $H^1_0(\Omega) \cap L^\infty(\Omega)$ 中的近似解 $u_n$。
• 应用基于截断的测试函数 $|u_n| \psi_{i,k}(u_n)$，其中 $\psi_{i,k}$ 近似 $u_n$ 超过水平 $k$ 时的符号，以推导 $\nabla u_n$ 与 $u_n$ 的先验估计。
• 利用维它利定理证明 $\{u_n^2\}$ 的等度可积性，并推导出 $u_n$ 在 $L^2(\Omega)$ 中强收敛于 $u$。
• 建立 $\{\partial_i u_n\}$ 的等度可积性，并应用 Dunford-Pettis 定理，获得 $\partial_i u_n$ 在 $L^1(\Omega)$ 中弱收敛于 $\partial_i u$，从而证明 $u \in W^{1,1}_0(\Omega)$。
• 在弱形式中取极限，利用 $\frac{\nabla u_n}{1+B|u_n|}$ 在 $L^2(\Omega)^N$ 中收敛于 $\frac{\nabla u}{1+B|u|}$，以及权重 $\frac{1+B|u_n|}{(1+b(x)|u_n|)^2}$ 在 $L^\infty(\Omega)$ 中的强收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $L^2$ 数据且非线性扩散项分母含 $|u|$ 的退化椭圆问题，其在 $W^{1,1}_0(\Omega)$ 中是否存在分布解？
• RQ2 当源项 $f$ 的可积性处于临界情况 $m=2$ 时会发生什么？此前结果仅给出 $W^{1,q}_0$ 解（$q<2$）或熵解。
• RQ3 当标准 $L^p$ 基础紧致性失效时，是否可能在非自反空间 $W^{1,1}_0(\Omega)$ 中获得解？
• RQ4 当 $u_n$ 仅在 $W^{1,1}_0$ 中弱收敛时，如何在非线性项 $\frac{a(x)\nabla u_n}{(1+b(x)|u_n|)^2}$ 中取极限？

主要发现

• 当 $f \in L^2(\Omega)$，$a(x) \in [\alpha, \beta]$，$b(x) \in [0, B]$ 时，问题 (1) 在 $W^{1,1}_0(\Omega) \cap L^2(\Omega)$ 中存在分布解 $u$。
• 解满足弱形式 $\int_\Omega \frac{a(x)\nabla u \cdot \nabla \varphi}{(1+b(x)|u|)^2} + \int_\Omega u\varphi = \int_\Omega f\varphi$，对所有 $\varphi \in W^{1,\infty}_0(\Omega)$ 成立。
• 近似解列 $\{u_n\}$ 强收敛于 $u$ 在 $L^2(\Omega)$ 中，确保弱形式中低阶项与右端项的收敛性。
• 序列 $\{\nabla u_n\}$ 是等度可积的，且 $\partial_i u_n$ 在 $L^1(\Omega)$ 中弱收敛于 $\partial_i u$，从而证明 $u \in W^{1,1}_0(\Omega)$。
• $\frac{\nabla u_n}{1+B|u_n|}$ 的极限在 $L^2(\Omega)^N$ 中弱收敛于 $\frac{\nabla u}{1+B|u|}$，这对在非线性算子中取极限至关重要。
• 本结果改进了早期工作，将存在性结果扩展至 $f$ 的 $L^m$ 可积性中的临界情况 $m=2$，此前结果仅给出 $W^{1,q}_0$ 解（$q<2$）或熵解。