[论文解读] A sequential least squares method for elliptic equations in non-divergence form

Ruo Li, Fanyi Yang|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2019

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新颖的顺序最小二乘有限元方法，用于求解非散度形式的二阶椭圆方程，通过将求解过程分解为两个步骤：首先在分片无旋多项式空间中逼近梯度，然后在连续拉格朗日有限元空间中求解主变量。该方法在 $L^2$ 和能量范数下均实现了最优收敛率，并提供了自然的后验误差估计器，支持有效的自适应加密，已在二维和三维区域的数值实验中得到验证。

ABSTRACT

We develop a new least squares method for solving the second-order elliptic equations in non-divergence form. Two least-squares-type functionals are proposed for solving the equations in two steps. We first obtain a numerical approximation to the gradient in a piecewisely irrotational polynomial space. Then together with the numerical gradient, we seek a numerical solution of the primitive variable in continuous finite element space. The variational setting naturally provides a posteriori error which could be used in an adaptive refinement algorithm. The error estimates in $L^2$ norm and energy norms for both two unknowns are derived. By a series of numerical experiments, we verify the convergence rates and show the efficiency of the adaptive algorithm.

研究动机与目标

• 开发一种稳定且收敛的有限元方法，用于求解因非散度结构而缺乏标准变分公式的二阶椭圆PDE。
• 通过使用 $C^0$ 有限元空间并避免鞍点系统，克服 $C^1$-协调有限元方法的挑战。
• 提出一种两步顺序最小二乘方法，将梯度逼近与主变量求解解耦。
• 从最小二乘泛函中推导后验误差估计器，用于自适应网格加密，尤其适用于低正则性解的问题。
• 通过二维和三维区域的大量数值实验，验证理论收敛率及自适应算法的效率。

提出的方法

• 将非散度形式PDE重新表述为一阶系统，以应用最小二乘原理。
• 首先在分片无旋多项式空间上最小化一个最小二乘泛函，以逼近梯度 $\boldsymbol{p}$。
• 然后利用计算得到的梯度，通过在连续 $C^0$ 有限元空间中求解第二个最小二乘问题，得到主变量 $u$。
• 最小二乘泛函自然地提供了用于自适应加密的后验误差估计器，基于弱形式中的残差。
• 采用类似间断伽辽金的边界迹算子和跃迁项，以处理单元边界处的不连续性。
• 采用 $h$-自适应加密策略，利用后验误差估计器在低正则性区域（如角点奇异性）进行加密。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种顺序最小二乘有限元方法，用于非散度形式椭圆PDE，而无需使用 $C^1$-协调单元？
• RQ2 在梯度逼近中使用分片无旋空间是否能在 $L^2$ 和能量范数下均实现最优收敛率？
• RQ3 最小二乘泛函能否作为低正则性解问题中自适应网格加密的有效后验误差估计器？
• RQ4 在数值实验中，梯度和主变量的收敛率与理论预测相比如何？
• RQ5 基于后验误差估计器的自适应加密是否能显著提高奇异解问题的计算效率？

主要发现

• 该方法在 $L^2$ 范数下对梯度 $\boldsymbol{p}$ 实现了 $m+1$ 阶的最优收敛率，在能量范数下为 $m$ 阶；对主变量 $u$ 在 $L^2$ 范数下为 $m+1$ 阶，在能量范数下为 $m$ 阶，与理论预测完全一致。
• 二维和三维区域的数值实验验证了所有误差范数的收敛阶，结果与理论估计完全吻合。
• 对于具有角点奇异性的问题（例如，$u = |\boldsymbol{x}|^{1.2}$），均匀加密导致梯度在能量范数下的收敛率为 $O(h^{0.2})$，在 $L^2$ 范数下为 $O(h^1)$，由于正则性降低而呈现次优收敛。
• 采用后验误差估计器的自适应加密在所有误差范数下均实现了最优收敛率，相较于均匀加密表现出显著更高的效率。
• 自适应网格策略成功地将加密集中在奇异区域（如角点）附近，如六步后的网格加密图所示。
• 该方法避免了求解鞍点系统，且每一步仅涉及一阶算子，相较于混合或混合-杂交格式，实现更为简便。