[论文解读] A sequential sampling strategy for extreme event statistics in nonlinear dynamical systems

Mustafa A. Mohamad, Themistoklis P. Sapsis|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2018

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 30被引用 110

一句话总结

该论文提出了一种序列采样策略，利用高斯过程回归自适应选择非线性动力系统中最具有信息量的参数点，显著提升了极端事件统计估计的精度，同时将模拟次数降至最低。该方法通过一种对数变换度量聚焦于概率密度函数（pdf）尾部的不确定性减少，仅需10–20个样本即可在具有数百万自由度的高维系统（如海上平台）中实现精确的pdf近似。

ABSTRACT

We develop a method for the evaluation of extreme event statistics associated with nonlinear dynamical systems, using a small number of samples. From an initial dataset of design points, we formulate a sequential strategy that provides the 'next-best' data point (set of parameters) that when evaluated results in improved estimates of the probability density function (pdf) for a scalar quantity of interest. The approach utilizes Gaussian process regression to perform Bayesian inference on the parameter-to-observation map describing the quantity of interest. We then approximate the desired pdf along with uncertainty bounds utilizing the posterior distribution of the inferred map. The 'next-best' design point is sequentially determined through an optimization procedure that selects the point in parameter space that maximally reduces uncertainty between the estimated bounds of the pdf prediction. Since the optimization process utilizes only information from the inferred map it has minimal computational cost. Moreover, the special form of the metric emphasizes the tails of the pdf. The method is practical for systems where the dimensionality of the parameter space is of moderate size, i.e. order O(10). We apply the method to estimate the extreme event statistics for a very high-dimensional system with millions of degrees of freedom: an offshore platform subjected to three-dimensional irregular waves. It is demonstrated that the developed approach can accurately determine the extreme event statistics using limited number of samples.

研究动机与目标

• 解决在极端事件发生概率极低、直接模拟不可行的高维非线性动力系统中估计极端事件统计的挑战。
• 开发一种计算高效的算法，选择‘下一个最优’参数样本，以最小化整个概率密度函数（尤其是尾部）的不确定性。
• 仅通过少量昂贵的模拟或实验，实现极端事件统计的精确估计。
• 聚焦于最能改善尾部分布估计的参数空间区域，利用pdf的对数变换增强对罕见事件的敏感性。
• 在具有数百万自由度的高保真、高维系统（如不规则波浪作用下的海上平台）上验证该方法的有效性。

提出的方法

• 该方法使用高斯过程回归（GPR）从初始采样点数据集中推断参数到可观测量的映射关系。
• 提出一种序列优化过程，以选择能最大程度减少估计pdf边界不确定性的下一个设计点。
• 不确定性减少准则基于pdf上下界之间的距离度量，其中对数变换强调了尾部区域。
• 该优化过程仅依赖于GPR模型的后验分布，选择过程中无需额外模拟，从而将计算成本降至最低。
• 该方法适用于中等维度的参数空间（O(10)），可高效探索复杂高维动力学行为。
• 对于力和力矩等正值可观测量，对可观测量的对数进行GPR建模，以提升建模的稳定性和准确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在模拟预算有限的情况下，如何高效估计非线性动力系统中概率密度函数的完整形式，特别是其极端尾部？
• RQ2 何种采样策略能在最小化pdf估计不确定性的同时，聚焦于罕见的极端事件？
• RQ3 与标准拉丁超立方采样相比，序列自适应采样方法在极端事件统计估计中的收敛速度和精度是否具有优势？
• RQ4 pdf的对数变换如何增强选择准则对尾部分布行为的敏感性？
• RQ5 该方法在具有数百万自由度的高维系统（如不规则波浪作用下的海上结构）中的适用程度如何？

主要发现

• 所提出的序列采样策略在对数pdf的L1误差上相比拉丁超立方采样提升了近一个数量级，即使样本数量有限。
• 在初始4点拉丁超立方设计的基础上仅增加14个样本，该方法即实现了与‘精确’pdf在海上平台受力统计上的一致性。
• 该算法成功捕捉了尾部分布的非高斯形状，而传统方法在样本较少时往往无法准确解析此特征。
• 该方法在不同初始数据集大小和核心迭代参数下均表现出渐近收敛性和稳定的性能。
• 采样策略选择的点与大作用力和非零概率区域相关，证实其聚焦于极端事件相关的参数空间区域。
• 该方法在具有数百万自由度的真实世界高保真系统上得到验证，证实其在工程规模问题中的实际可行性。