[论文解读] A shallow physics-informed neural network for solving partial differential equations on surfaces

Wei-Fan Hu, Yi-Jun Shih+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2022

Model Reduction and Neural Networks被引用 4

一句话总结

该论文提出一种浅层物理信息神经网络（PINN），通过使用水平集函数在笛卡尔坐标系中直接表达曲面微分算子，用于求解静态和演化曲面上的偏微分方程（PDE）。该方法避免了法向延拓约束，仅用少量神经元即可实现高精度，并成功模拟了剪切流作用下形变液滴上的表面活性剂输运，误差低于1%。

ABSTRACT

In this paper, we introduce a shallow (one-hidden-layer) physics-informed neural network for solving partial differential equations on static and evolving surfaces. For the static surface case, with the aid of level set function, the surface normal and mean curvature used in the surface differential expressions can be computed easily. So instead of imposing the normal extension constraints used in literature, we write the surface differential operators in the form of traditional Cartesian differential operators and use them in the loss function directly. We perform a series of performance study for the present methodology by solving Laplace-Beltrami equation and surface diffusion equation on complex static surfaces. With just a moderate number of neurons used in the hidden layer, we are able to attain satisfactory prediction results. Then we extend the present methodology to solve the advection-diffusion equation on an evolving surface with given velocity. To track the surface, we additionally introduce a prescribed hidden layer to enforce the topological structure of the surface and use the network to learn the homeomorphism between the surface and the prescribed topology. The proposed network structure is designed to track the surface and solve the equation simultaneously. Again, the numerical results show comparable accuracy as the static cases. As an application, we simulate the surfactant transport on the droplet surface under shear flow and obtain some physically plausible results.

研究动机与目标

• 开发一种无需依赖法向延拓约束的无网格、浅层神经网络框架，用于求解曲面上的PDE。
• 改进现有PINN方法在曲面上施加零法向导数约束所导致的精度与效率问题。
• 通过引入预设隐藏层以学习曲面到参考拓扑的同胚关系，将该方法扩展至演化曲面。
• 在复杂几何结构上展示该方法的能力，包括时间依赖的曲面PDE，如对流-扩散方程。
• 在真实世界应用中验证该方法，如剪切流作用下液滴上的表面活性剂输运。

提出的方法

• 利用水平集函数提供的标准笛卡尔导数与曲面几何信息，重新表述曲面微分算子（梯度、散度、拉普拉斯-贝尔特拉米算子）。
• 损失函数在环境欧几里得空间中惩罚PDE的残差，直接整合由水平集函数计算得到的曲面曲率与法向量。
• 采用单隐藏层神经网络近似解，实现高效训练与实现。
• 对于演化曲面，引入预设隐藏层以学习当前曲面与参考拓扑之间的同胚关系，实现曲面追踪与PDE求解的同步进行。
• 在每个训练点直接从水平集函数计算曲面法向与平均曲率，避免生成网格或三角剖分。
• 通过使用具有学习权重与偏置的浅层网络，避免了径向基函数方法中常见的病态问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 浅层PINN是否能在不施加法向延拓约束的情况下准确求解曲面PDE？
• RQ2 该基于笛卡尔坐标的曲面算子公式化方法与传统嵌入法或基于网格的方法相比，性能如何？
• RQ3 该方法能否在保持精度与稳定性的同时扩展至演化曲面？
• RQ4 该方法在模拟复杂物理现象（如形变液滴上的表面活性剂输运）时的精度如何？
• RQ5 隐藏层中神经元数量对解的精度与收敛性有何影响？

主要发现

• 对于复杂静态曲面上的拉普拉斯-贝尔特拉米算子与曲面扩散方程，该方法仅使用中等数量的神经元，即可实现低于$10^{-5}$的相对$L^2$误差。
• 所提出的方法优于以往采用法向导数约束的PINN方法，后者即使使用深层网络，误差也超过1%。
• 对于演化曲面，该方法保持了高精度，液滴体积与表面活性剂质量的误差在整个模拟过程中均低于1%。
• 对剪切流作用下液滴上表面活性剂输运的模拟产生了物理解释合理的模拟结果，验证了该方法在真实流体动力学问题中的适用性。
• 利用水平集函数可精确计算曲面法向与平均曲率，这对曲面微分算子的构建至关重要。
• 浅层网络架构确保了快速训练与实现，使该方法适用于实时或大规模模拟。