[论文解读] A shape preserving quasi-interpolation operator based on a new transcendental RBF

Mohammad Heidari, Maryam Mohammadi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2021

Advanced Numerical Analysis Techniques被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于双曲正切函数的新超越径向基函数（RBF）的新型保形拟插值算子，即 $\phi(r) = r \tanh(r/c)$。该方法在经典多二次（MQ）RBF的基础上实现了 $O(h^2)$ 收敛率，保持了凸性和单调性，并在数值实验中展现出更优的精度与稳定性，且无需求解线性系统。

ABSTRACT

It is well-known that the univariate Multiquadric quasi-interpolation operator is constructed based on the piecewise linear interpolation by |x|. In this paper, we first introduce a new transcendental RBF based on the hyperbolic tangent function as a smooth approximant to f(r)=r with higher accuracy and better convergence properties than the multiquadric. Then Wu-Schaback's quasi-interpolation formula is rewritten using the proposed RBF. It preserves convexity and monotonicity. We prove that the proposed scheme converges with a rate of O(h^2). So it has a higher degree of smoothness. Some numerical experiments are given in order to demonstrate the efficiency and accuracy of the method.

研究动机与目标

• 开发一种适用于一维散乱数据的高阶、保形拟插值算子，避免求解线性系统。
• 用基于双曲正切函数的新超越RBF替代经典的多二次（MQ）RBF，以提升精度与收敛性。
• 确保算子能够保持原始数据的单调性与凸性，这对可靠函数重构至关重要。
• 实现与形状参数 $c$ 无关的 $O(h^2)$ 收敛率，增强鲁棒性与光滑性。
• 减轻函数逼近中经典的数值不稳定性，如Runge现象与Gibbs现象。

提出的方法

• 提出新RBF：$\phi(r) = r \tanh(r/c)$，其能平滑逼近 $|x|$，且收敛性优于经典MQ RBF $\sqrt{r^2 + c^2}$。
• 基于新RBF重构Wu–Schaback拟插值公式，构造算子 $\mathcal{L}_{RTH}$。
• 通过新RBF及其导数行为的性质，确保算子在构造上具有单调性与凸性保持特性。
• 通过证明与形状参数 $c$ 无关的理论界，实现 $O(h^2)$ 收敛率。
• 直接使用函数值作为系数，无需求解线性系统，保持计算效率。
• 通过在光滑、不连续及振荡测试函数上的数值实验验证该方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于双曲正切函数的新超越RBF是否在拟插值的收敛率与精度方面优于经典的MQ RBF？
• RQ2 所提出的拟插值算子是否能保持输入数据的单调性与凸性？
• RQ3 基于新RBF的算子能否有效缓解函数逼近中的Runge与Gibbs现象？
• RQ4 所提算子的收敛率是多少？其与形状参数 $c$ 和步长 $h$ 的关系如何？
• RQ5 对于散乱数据集，新算子是否比标准MQ拟插值更鲁棒且更精确？

主要发现

• 所提出的RBF $\phi(r) = r \tanh(r/c)$ 在小 $c$ 时展现出比MQ RBF更高的精度与更优的收敛性。
• 拟插值算子 $\mathcal{L}_{RTH}$ 实现了 $O(h^2)$ 收敛率，数值验证显示不同测试问题中的收敛率分别达到2.0943与3.4210。
• 数值实验表明，对于光滑函数，当 $h = 0.0125$ 且 $c = 0.01$ 时，$L^\infty$ 误差可降低至 $7.5 \times 10^{-14}$。
• 该算子成功缓解了Runge函数的Runge现象，随着 $h$ 减小，相对误差显著下降。
• 对于不连续函数，Gibbs现象被显著抑制，振荡随 $c$ 减小至0.001而减弱。
• 在所有测试问题中，包括分段解析与不连续函数，该方法在精度与稳定性方面均优于标准MQ拟插值。