[论文解读] A Sharp Double Inequality for the Inverse Tangent Function

Gholamreza Alirezaei|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2013

Advanced Differential Geometry Research参考文献 5被引用 7

一句话总结

本文提出一个精确的双不等式，通过从 $\pi$ 导出的最优常数，以形如 $\frac{x}{c_1 + \sqrt{c_2 + c_3 x^2}}$ 的有理函数紧密地界定了反切线函数。所提出的界分别实现了约 0.27%（下界）和 0.23%（上界）的最大相对误差，显著优于 Shafer 不等式，且通过解析误差分析与单调性论证，证明了这些界为最优。

ABSTRACT

The inverse tangent function can be bounded by different inequalities, for example by Shafer's inequality. In this publication, we propose a new sharp double inequality, consisting of a lower and an upper bound, for the inverse tangent function. In particular, we sharpen Shafer's inequality and calculate the best corresponding constants. The maximum relative errors of the obtained bounds are approximately smaller than 0.27% and 0.23% for the lower and upper bound, respectively. Furthermore, we determine an upper bound on the relative errors of the proposed bounds in order to describe their tightness analytically. Moreover, some important properties of the obtained bounds are discussed in order to describe their behavior and achieved accuracy.

研究动机与目标

• 通过推导具有解析最优常数的更紧双不等式，改进 Shafer 对反切线函数的不等式。
• 开发一种形如 $\frac{x}{c_1 + \sqrt{c_2 + c_3 x^2}}$ 的有理逼近，使其对所有实数 $x$ 紧密界定了 $\arctan(x)$。
• 通过解析方法确定所提下界与上界相对误差的上界，以量化其紧密程度。
• 通过证明系数三元组中任一成分均无法在不破坏不等式的情况下被改进，从而证明所推导常数的最优性。

提出的方法

• 作者定义了两个有理函数 $f(x)$ 和 $h(x)$，其系数由 $\pi^2$ 导出：下界使用 $c_1 = \frac{4}{\pi^2}$，$c_2 = \left(1 - \frac{4}{\pi^2}\right)^2$，$c_3 = \frac{4}{\pi^2}$；上界使用 $c_1 = 1 - \frac{6}{\pi^2}$，$c_2 = \left(\frac{6}{\pi^2}\right)^2$，$c_3 = \frac{4}{\pi^2}$。
• 通过分析差值函数 $\Delta_f(x) = \arctan(x) - f(x)$ 和 $\Delta_h(x) = h(x) - \arctan(x)$ 的对称性与单调性，证明了对所有 $x \in \mathbb{R}$，有 $|f(x)| \leq |\arctan(x)| \leq |h(x)|$。
• 证明依赖于表明每个差值函数在 $x > 0$ 时恰好有一个临界点，且在两端点处为零，且在整个区间上非负，从而推出不等式成立。
• 通过分析相对误差函数 $r_f(x) = \frac{\arctan(x) - f(x)}{\arctan(x)}$ 和 $r_h(x) = \frac{h(x) - \arctan(x)}{\arctan(x)}$，推导出最大相对误差的上界。
• 作者定义了集合 $\mathds{I}_f$ 和 $\mathds{I}_h$ 以比较两界限的相对误差，并推导出限制两误差最大值的不等式。
• 利用恒等式 $\max(r_f, r_h) \leq \frac{h(x) - f(x)}{f(x)}$ 和 $\min(r_f, r_h) \leq \frac{h(x) - f(x)}{h(x) + f(x)} \leq \max(r_f, r_h)$ 推导出解析误差界，用于量化逼近的紧密程度。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于所有实数 $x$，形式为 $\frac{x}{c_1 + \sqrt{c_2 + c_3 x^2}} < \arctan(x) < \frac{x}{d_1 + \sqrt{d_2 + d_3 x^2}}$ 的最紧双不等式是什么？
• RQ2 能否对常数 $c_1, c_2, c_3$ 和 $d_1, d_2, d_3$ 进行解析优化，以最小化界的最大相对误差？
• RQ3 如何对界的相关误差进行解析界定，以定量描述其紧密程度？
• RQ4 所推导的双不等式是否为精确的（即，系数三元组中任一常数均无法在不破坏不等式的情况下被改进）？
• RQ5 差值函数 $\Delta_f(x)$ 和 $\Delta_h(x)$ 在单调性与临界点方面的行为如何，以支持不等式的证明？

主要发现

• 所提出的下界 $f(x) = \frac{x}{\frac{4}{\pi^2} + \sqrt{\left(1 - \frac{4}{\pi^2}\right)^2 + \frac{4x^2}{\pi^2}}}$ 实现了约 0.27% 的最大相对误差。
• 所提出的上界 $h(x) = \frac{x}{1 - \frac{6}{\pi^2} + \sqrt{\left(\frac{6}{\pi^2}\right)^2 + \frac{4x^2}{\pi^2}}}$ 实现了约 0.23% 的最大相对误差。
• 双不等式 $|f(x)| \leq |\arctan(x)| \leq |h(x)|$ 对所有实数 $x$ 成立，且证明其为精确不等式，即系数三元组中任一系数均无法改进而不破坏不等式。
• 界的相关误差被解析界定，其中 $\max(r_f(x), r_h(x)) \leq \frac{h(x) - f(x)}{f(x)}$，且 $\frac{h(x) - f(x)}{h(x) + f(x)}$ 作为紧密的中间界。
• 差值函数 $\Delta_f(x)$ 和 $\Delta_h(x)$ 被证明为非负，且在 $x > 0$ 时恰好有一个最大值，从而确认了双不等式的有效性。
• 分析确认了函数 $f(x)$、$\arctan(x)$ 和 $h(x)$ 具有中心对称性，因此只需验证 $x \geq 0$ 时不等式成立即可。