[论文解读] A sharp Trudinger-Moser inequality on any bounded and convex planar domain

Guozhen Lu, Qiaohua Yang|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2015

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文通过利用黎曼映射定理将问题转化为单位圆盘，采用无重排方法，证实了王和叶关于任意有界凸平面区域上精确的Trudinger-Moser不等式猜想。关键结果是在不假设边界光滑性的前提下，不等式在最优常数 $4\pi$ 下成立，且有界常数仅依赖于区域本身。

ABSTRACT

Wang and Ye conjectured in [22]: Let $Ω$ be a regular, bounded and convex domain in $\mathbb{R}^{2}$. There exists a finite constant $C(Ω)>0$ such that \[ \int_Ωe^{\frac{4πu^{2}}{H_{d}(u)}}dxdy\le C(Ω),\;\;\forall u\in C^{\infty}_{0}(Ω), \] where $H_{d}=\int_Ω| abla u|^{2}dxdy-\frac{1}{4}\int_Ω\frac{u^{2}}{d(z,\partialΩ)^{2}}dxdy$ and $d(z,\partialΩ)=\min\limits_{z_{1}\in\partialΩ}|z-z_{1}|$.} The main purpose of this paper is to confirm that this conjecture indeed holds for any bounded and convex domain in $\mathbb{R}^{2}$ via the Riemann mapping theorem (the smoothness of the boundary of the domain is thus irrelevant). We also give a rearrangement-free argument for the following Trudinger-Moser inequality on the hyperbolic space $\mathbb{B}=\{z=x+iy:|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}<1\}$: \[ \sup_{\|u\|_{\mathcal{H}}\leq 1} \int_{\mathbb{B}}(e^{4πu^{2}}-1-4πu^{2})dV=\sup_{\|u\|_{\mathcal{H}}\leq 1}\int_{\mathbb{B}}\frac{(e^{4πu^{2}}-1-4πu^{2})}{(1-|z|^{2})^{2}}dxdy< \infty, \] by using the method employed earlier by Lam and the first author [9, 10], where $\mathcal{H}$ denotes the closure of $C^{\infty}_{0}(\mathbb{B})$ with respect to the norm $$\|u\|_{\mathcal{H}}=\int_{\mathbb{B}}| abla u|^{2}dxdy-\int_{\mathbb{B}}\frac{u^{2}}{(1-|z|^{2})^{2}}dxdy.$$ Using this strengthened Trudinger-Moser inequality, we also give a simpler proof of the Hardy-Moser-Trudinger inequality obtained by Wang and Ye [22].

研究动机与目标

• 解决王和叶关于 $\mathbb{R}^2$ 中所有有界凸区域上存在有限精确Trudinger-Moser不等式的猜想。
• 在双曲空间 $\mathbb{B}$ 上建立一个不依赖对称化或重排技术的加强型Trudinger-Moser不等式。
• 利用 $\mathbb{B}$ 上的加强不等式，提供Hardy-Moser-Trudinger不等式的新且更简单的证明。
• 证明Trudinger-Moser不等式中的最优常数在共形映射下保持不变，从而将结果推广至一般凸区域。

提出的方法

• 利用黎曼映射定理将任意有界凸平面区域 $\Omega$ 共形映射到单位圆盘 $\mathbb{B}$，保持泛函结构不变。
• 应用受Lam和Lu [9,10] 启发的无重排方法，在 $\mathbb{B}$ 上推导出涉及权重 $\frac{1}{(1-|z|^2)^2}$ 的精确Trudinger-Moser不等式。
• 通过积分估计和共形不变性，证明不等式 $\sup_{\|u\|_{\mathcal{H}} \leq 1} \int_{\mathbb{B}} \frac{e^{4\pi u^2} - 1 - 4\pi u^2}{(1-|z|^2)^2} dx dy < \infty$。
• 利用Dirichlet能量和Hardy型项的共形不变性，通过共形映射的雅可比行列式，将 $\Omega$ 上的权重 $\frac{1}{d(z,\partial\Omega)^2}$ 与 $\mathbb{B}$ 上的双曲权重联系起来。
• 应用改进的Hardy不等式 $\int_{\Omega} |\nabla u|^2 dx dy - \frac{1}{4} \int_{\Omega} \frac{u^2}{d(z,\partial\Omega)^2} dx dy \geq C \int_{\Omega} u^2 dx dy$ 来控制 $u$ 的 $L^2$-范数。
• 结合 $\mathbb{B}$ 上的加权Trudinger-Moser有界性、共形变换以及雅可比行列式的逐点下界，推导出 $\Omega$ 上的最终不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 王-叶猜想是否对所有 $\mathbb{R}^2$ 中的有界凸区域成立，无论边界是否光滑？
• RQ2 能否使用无重排方法在双曲空间及相关区域上建立精确的Trudinger-Moser不等式？
• RQ3 当包含Hardy型修正项时，Trudinger-Moser不等式中指数的常数 $4\pi$ 是否最优？
• RQ4 能否利用双曲Trudinger-Moser不等式的共形不变性，将结果推广至任意凸区域？
• RQ5 在共形映射下，到边界的距离 $d(z,\partial\Omega)$ 与双曲度量之间的确切关系为何？

主要发现

• 王-叶猜想得到证实：对任意有界凸区域 $\Omega \subset \mathbb{R}^2$，存在有限常数 $C(\Omega)$，使得对所有 $u \in C_0^\infty(\Omega)$，有 $\int_{\Omega} \exp\left(\frac{4\pi u^2}{H_d(u)}\right) dx dy \leq C(\Omega)$，其中 $H_d(u) = \int_{\Omega} |\nabla u|^2 dx dy - \frac{1}{4} \int_{\Omega} \frac{u^2}{d(z,\partial\Omega)^2} dx dy$。
• 在双曲圆盘上证明了加强型Trudinger-Moser不等式：$\sup_{\|u\|_{\mathcal{H}} \leq 1} \int_{\mathbb{B}} \frac{e^{4\pi u^2} - 1 - 4\pi u^2}{(1-|z|^2)^2} dx dy < \infty$，其中常数 $C_2$ 与 $u$ 无关。
• 该证明避免了对称化，依赖于共形不变性和逐点估计，为Hardy-Moser-Trudinger不等式提供了新且更简洁的方法。
• 指数中的最优常数 $4\pi$ 在共形映射下保持不变，且不等式在所有有界凸区域上一致成立。
• 使用改进的Hardy不等式 $\int_{\Omega} |\nabla u|^2 dx dy - \frac{1}{4} \int_{\Omega} \frac{u^2}{d(z,\partial\Omega)^2} dx dy \geq C_6 \int_{\Omega} u^2 dx dy$ 来控制 $L^2$-范数并完成估计。
• 通过涉及变换后区域和双曲权重的不等式链，证明 $\int_{\Omega} e^{4\pi u^2} dx dy$ 的最终有界性为有限且仅依赖于 $\Omega$ 的常数，从而完成证明。